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如果我们将跨式期权组合当成一个单一波动率的赌注，并且只对冲一次（N=1），那么根据式（7-7），我们可以得到：
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请注意，在这个式子中，只有实际的已实现波动率与最终的到期结果有关。它的大小只有在到期日才能知道，因此与我们完成交易后期权市场的隐含波动率无关。
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值得注意的一个要点是：交易员有可能正确估计了已实现波动率，但是却没能盈利。为了避免由于无限次对冲而产生的巨额交易成本，这是我们必须承担的风险。这部分损益的波动虽然让人无可奈何，但是我们总能通过增加对冲频率来降低波动率。我们还要注意，这个结论的前提是合约标的价格服从扩散过程。如果存在价格跳跃，频繁对冲也一样无济于事。在实际市场的交易中，总有一些风险是我们无法对冲的。股票交易员实际交易的是价格漂移，但他也会面临波动率风险和路径依赖的风险。做多一只价格从100平缓上涨到110的股票，与做多一只价格从100先跌到50再迅速涨到110的股票是完全不同的。在这两个例子中，最终的结果无法明确告诉我们交易中隐含的所有风险。我们主动地进行波动率交易，但同时也面临波动率抽样的风险（或者说是波动率的波动率）以及路径依赖的风险。
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） [:1703562381]
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） 波动率依赖
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在以上分析中，我们假设以真实波动率来对冲期权。但在实践中，真实波动率是未知的，所以我们需要选择一个对冲波动率。显然有两个波动率可供选择，即σ预测和σ隐含。到底哪一个更好呢？无论选择哪个波动率，它显然都不会和到期时的已实现波动率相同，这会产生什么后果呢？
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一些简单的例子表明，选择不同对冲波动率所得到的损益结果也同样具有路径依赖的特性。考虑如图7-7所示的两条合约标的价格路径。它们拥有相同的年化波动率（23.44%），但是其中的一条会产生更多的价格漂移。
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图7-7 具有相同波动率的两条价格路径
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假设我们购买vega为$1000、行权价为100的一月期看涨期权，购买时的隐含波动率为18.44%，考虑在每日收盘前进行对冲。另外还假设我们可以完美地预测已实现波动率（注意，在计算盈利时不会有抽样误差，因为价格路径是被确切地构造出来的，而不是由特定的随机过程产生的）。表7-2展示了分别基于隐含波动率和预测波动率进行对冲时P/L的可能情况。
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表7-2 相同期权组合在不同波动率和路径下的对冲结果
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显然，不同的选择的确会影响到最终结果，而且结果也有着路径依赖的特性。当合约标的存在价格漂移且我们处于gamma多头时，对冲头寸可能会发生亏损。因为我们会在上涨的市场中不断卖出合约标的。因此我们希望对冲的频率慢一些。如果我们使用了更高的波动率，那么就会得到较小的gamma，从而我们对冲的频率会变慢。相反，在一个震荡的、毫无趋势的市场中，对冲头寸会变成盈利头寸，因此我们可以调快对冲频率。如果我们使用了更低的波动率，那就会得到较大的gamma。在卖出期权时，情况则刚好相反。当在趋势市场中处于gamma多头时，交易员将这个对冲技巧戏称为“奔跑的delta”；如果是在趋势市场中处于gamma空头时，他们则称之为“保守型对冲”。这点总结在表7-3中。
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表7-3 在不同市场情况下，对不同的期权头寸，需要调整波动率
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下面我们在更一般的情形下研究对冲波动率的选择问题。假设以隐含波动率σi卖出期权，然后用已实现波动率σr进行对冲。我们需要研究对冲后头寸的损益如何随时间而变化。其实推论过程和第1章中所使用的是一样的，只是我们现在更加关注使用隐含波动率和已实现波动率的不同结果而已。同样，我们使用的推导过程并不是非常严谨。有兴趣了解相关数学细节的读者可以参阅Carr（1999）、Henrard（2003）或者Ahmad和Wilmott（2005）的论文。
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式（1-2）给出了对冲组合在首个时间间隔之后的价值。值得注意的是，我们需要使用σi来给期权估值，因为此时我们关心的是组合的盯市价值。但是delta需要用已实现波动率来估计，因为这是我们选择的对冲波动率。每日交易结束后，整个账户的盈利为：
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然而，我们知道已实现波动率σr也可以对组合进行估值，而且这样的估值才是“正确的”（从定义上来说）。因此可以得到：
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