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·式（7-14）表明，利润的变化不是平滑的。式（7-14）中包含了一个随机变量。
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·利润实现的方式取决于漂移项μ。
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图7-8展示了损益随时间演变的5条可能路径。此处期权都是用已实现波动率来对冲的。使用的例子为1000vega的1年期平值看涨期权，卖出时的隐含波动率为40%，对冲时使用的到期已实现波动率为30%。设定漂移项、利率和股息率均为0。
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交易员需要对这些情况很熟悉。这些损益波动产生的原因是其他人（或者其他市场）的盯市波动率不同于我们头寸的使用方式，但这并不意味着交易过程中存在阴谋。我们之所以交易这些期权正是因为它们被错误定价了。如果期权头寸持续地被错误定价，那么最终我们将持有与期权头寸不匹配的股票头寸。虽然根据我们的交易思路，头寸已经被对冲了，但是根据市场价格，期权却没有被完全对冲掉。任何人如果想和他们的上司解释这个情况，都会觉得难以解释清楚。
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图7-8 用已实现波动率来对冲空头头寸时的损益与时间的关系
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接下来研究用隐含波动率来对冲时的情况。虽然我们按照之前相同的办法来进行分析，但是这次所有相关变量都是用隐含波动率来估计的。对冲头寸在一个时间间隔后的盯市利润满足如下公式：
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·式（7-15）中不包含随机项。利润是一个确定的量。
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·这时并不存在市场的盯市波动率与我们的对冲波动率不同的问题。无论市场以什么波动率进行盯市，我们都可以相应地予以对冲。
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·即使我们不知道如何精确地预测波动率，这种对冲方法依然是一个可行的方法。只要我们卖出期权时的依据是认为隐含波动率过高，我们就可能盈利。
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如果我们计算每一个时间间隔所产生的利润的现值，然后将它们加总起来，那么就能够得到头寸的总损益为：
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现在我们可以观察到前一个例子中提到的路径依赖效应。即使期权一开始是平值的，合约标的价格的漂移也会使最终价格偏离行权价，导致gamma项变得很小，从而使得根据式（7-16）得到的潜在利润也很小。这其实不难理解：我们实际上是在赌波动率。因此盈利的前提是拥有一定的波动率风险敞口。如果一个期权的合约标的价格距离平值点很远，那么此时的波动率敞口就很小了。这就是为什么交易员都希望期权能够在接近行权价时到期的原因。这时候的gamma无论从时间维度还是从价格维度上来看，都是最大的。因此只要波动率的估计是正确的，此时的盈利就是最多的。这个结论不光对跨式价差组合成立，对宽跨式价差组合（strangles）以及剥离式期权组合（strips）也同样成立。我们希望所持有的波动率头寸能够覆盖足够宽的合约标的波动区间。
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路径依赖也是不同行权价的期权应该用不同的隐含波动率来定价的原因。合约标的的不同路径对不同行权价期权的影响是不同的，这是因为它们的gamma状态差别很大。式（7-14）表明，公允的隐含波动率（使得损益为0的波动率）会随gamma的变化而不同。Dupire（2006）在他关于“实现盈亏平衡的波动率偏度”的著作中研究了这个概念。
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要注意的是，这个结论对gamma多头和gamma空头头寸都是有效的。初看上去，这个观点可能有点令人惊讶。大部分交易员都明白，对于空头头寸来说，以靠近行权价的价格到期是一件好事。但事实上，对于多头头寸来说，以行权价到期同样是一件好事。gamma空头和多头的区别在于，在实践中，要在短时间内对冲掉gamma多头是很难实现的。只有在已实现波动率较低的时候（也就是说，看涨期权在接近行权价的价位平缓到期），才有可能比较容易地对冲它，但这意味着我们对波动率的预测是错误的。同样我们要注意到，在以行权价到期时，做市商的动态对冲所导致的反馈效应会增强。如果做市商处于gamma多头，他们会在合约标的价格低于行权价时买入资产，在高于行权价时卖出资产，这样就会压低已实现波动率。对于期权持有者来说，这是件坏事，但其中坏的方面是由低波动率引起的，而并不是因为到期价格接近行权价。到期价格接近行权价只是导致低波动率的一个原因。
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图7-9展示了用隐含波动率对冲的期权头寸的损益随时间变化的情况，图中给出了5条可能出现的损益路径。图中所用的例子是vega为1000的一年期平值看涨期权空头，在40%的价位卖出波动率，并且用隐含波动率对冲至到期。漂移、利率以及股息率均为0。
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图7-9 用隐含波动率来对冲空头头寸时的损益与时间的关系
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图7-9所展示的结果表明，用隐含波动率来对冲期权头寸时的损益更为平滑，但是与用已实现波动率来对冲相比，其结果更加不确定。大部分交易员都认为这样的情况更容易处理。
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Ahmad和Wilmott（2005）推导出了期望收益的表达式（以积分的形式），以及用隐含波动率对冲期权价值的标准差表达式（以二重积分的形式）。感兴趣的读者可以去参考这两个式子。但是进行模拟测试可能是一个更为有用的、可以了解整个对冲情景的方法（模拟测试可以扩展到引入不同的随机过程，可以加入隐含波动率微笑，可以处理包含多种期权的头寸）。图7-10和图7-11展示了一些模拟结果。我们可以清楚地得到如下特性：
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·虚值期权头寸损益的方差比平值期权的要高。
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·如果我们总是偏向于选择高波动率来作为对冲波动率，那么就会得到较低的损益方差。
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