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波动率交易:期权量化交易员指南(原书第2版) 凯利规则
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考虑这样一个一般的情况:每次赢的时候,我们可以赚w%,输的时候会亏损I%。资金账户的初始金额为W0。每次下注额占资金账户的比例为f。
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因此在一次获胜后,账户金额为:
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或者我们可以说盈利因子(gain factor)为(1+fw)。类似地,在一次亏损后,我们剩下的资金量为:
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因此,这时候的盈利因子为(1-f?l)。简单地说,在每次获胜后,我们的资金量就乘以(1+fw),每次失败后就乘以(1-f?l)。所以n次获胜和m次失败后,盈利因子为:
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或者说,每一次交易时,我们能够得到:
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其中,p=n/(n+m),为获胜的概率;q=m/(n+m),为失败的概率。
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通过选择不同的f来最大化G的方法可能是错误的。在任何有限次数的赌博中,只要每次押上整个账户,我们的期望收益是最大的。遗憾的是,这样一来,我们100%会破产,因为最终还是会输。只要输了一次就会破产。这个策略并没有考虑风险。事实上,我们需要最大化的是风险调整后的收益,或者说是效用,这其中又一次涉及选择效用函数(我们可以在许多效用函数中选择一个,但从长期来看,对数效用函数的效果更好)。此时,我们最大化的将不再是期望财富(expected wealth),而是典型财富(typical wealth),它们之间概念上的区别很重要。平均值会被一些不可能发生的情况所干扰,例如交易员每一次都盈利。这对已经破产的交易员而言没有任何意义。而通过最大化对数期望财富,我们可以降低破产的概率。
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因此,我们对收益函数取对数,然后对x求偏导并使之等于0,由此可以得到最优的f值:
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(所以在一开始的简单例子中,凯利比率应该是0.1。)
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在N次赌局后,期望账户金额为:
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图8-4展示了10次赌局后的期望账户金额与赌注大小的函数关系。在这个赌局中,获胜的概率为45%,获胜时的盈利为失败时损失的2倍。在这个例子里,凯利比率为0.175,对应的是曲线的峰值。如果下注比例达到凯利比率的2倍以上,那么账户增长率会变成负值,赌的次数越多,账户损失也就越大。
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图8-4 下注10次时的期望账户金额与下注规模的关系
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进行一些简单的模拟,就可以充分了解如下几个特点:
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