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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） [:1703562385]
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） 凯利规则
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考虑这样一个一般的情况：每次赢的时候，我们可以赚w%，输的时候会亏损I%。资金账户的初始金额为W0。每次下注额占资金账户的比例为f。
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因此在一次获胜后，账户金额为：
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或者我们可以说盈利因子（gain factor）为（1+fw）。类似地，在一次亏损后，我们剩下的资金量为：
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因此，这时候的盈利因子为（1-f？l）。简单地说，在每次获胜后，我们的资金量就乘以（1+fw），每次失败后就乘以（1-f？l）。所以n次获胜和m次失败后，盈利因子为：
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或者说，每一次交易时，我们能够得到：
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其中，p=n/（n+m），为获胜的概率；q=m/（n+m），为失败的概率。
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通过选择不同的f来最大化G的方法可能是错误的。在任何有限次数的赌博中，只要每次押上整个账户，我们的期望收益是最大的。遗憾的是，这样一来，我们100%会破产，因为最终还是会输。只要输了一次就会破产。这个策略并没有考虑风险。事实上，我们需要最大化的是风险调整后的收益，或者说是效用，这其中又一次涉及选择效用函数（我们可以在许多效用函数中选择一个，但从长期来看，对数效用函数的效果更好）。此时，我们最大化的将不再是期望财富（expected wealth），而是典型财富（typical wealth），它们之间概念上的区别很重要。平均值会被一些不可能发生的情况所干扰，例如交易员每一次都盈利。这对已经破产的交易员而言没有任何意义。而通过最大化对数期望财富，我们可以降低破产的概率。
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因此，我们对收益函数取对数，然后对x求偏导并使之等于0，由此可以得到最优的f值：
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（所以在一开始的简单例子中，凯利比率应该是0.1。）
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在N次赌局后，期望账户金额为：
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图8-4展示了10次赌局后的期望账户金额与赌注大小的函数关系。在这个赌局中，获胜的概率为45%，获胜时的盈利为失败时损失的2倍。在这个例子里，凯利比率为0.175，对应的是曲线的峰值。如果下注比例达到凯利比率的2倍以上，那么账户增长率会变成负值，赌的次数越多，账户损失也就越大。
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图8-4 下注10次时的期望账户金额与下注规模的关系
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进行一些简单的模拟，就可以充分了解如下几个特点：