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现在回过头来看，在该例子中，w=6，N=10，我们可以估计得到，f的标准差近似为0.274，它同样会随着N的增加而下降。如果我们在100次试验中观察到60次胜，那标准差就会只有0.097。
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凯利比率的标准差与样本容量之间的实际关系确认了我们的猜测，更多的数据意味着更小的偏差。图8-10显示了当理论胜率为0.6时，标准差与样本容量之间的关系。
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图8-10 f的标准差与样本容量之间的关系
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） [:1703562388]
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） 账户金额是什么
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账户金额当然不等同于保证金，保证金是我们需要放在清算公司的金额，但它并不等于我们能够亏损的金额。通常来说，账户金额可被视为在该策略被废弃前我们所能承担的最大亏损额。但即使这样，很多时候这个数字也很难确定。Leib（1995）曾经研究过这个问题，他认为黑杰克的业余选手应该比职业选手更激进一些，因为业余选手可以通过其他收入来补充他们的账户。这个理论也适用于那些能够找到其他工作的交易员。
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凯利准则可以从以下两个方面来理解：
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1.该策略最大化了账户金额的预期增长率；
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2.该策略最大化了对数效用函数。
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上述两个解释都没有考虑当我们能够补充可亏金额的情形。
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在第一个分析框架中，交易目标是尽可能快地变得越富越好。破产是不好的，因为它将不能再进一步增长。账户最终能剩点钱，总比一无所有好一些。不过，如果有其他的资金来源（例如，来自其他的工作或支持者），那未来的增长仍是可能的。
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在效用增长解释的框架中，资金增长只是一个结果，效用增长才是真正目的。在这种情况下，破产无疑是最坏的，因为此时效用变得无限差。
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在任意一个解释中，亏掉你所有的钱都是无限差的。这里需要重点强调一下“无限”一词。它意味着将没有任何恢复的办法。不过这种情形在现实中很难发生，除非我们实际讨论的是赌徒用其生命本身在冒险的情形。
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当我们考虑自身总的财富时，我们可以与凯利方法更紧密地结合起来，并进行相应的比例调整。例如，如果我们有一个100万美元的交易账户，而总的财富为500万美元时，我们可以把账户金额设置为500万美元，凯利比例系数为0.1，而不是把账户金额设置为100万美元，乘数为0.5。当盈利优势很小时，两者的差异不大，但当盈利优势很大时，两者差异就会变得非常大。
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） [:1703562389]
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） 凯利规则的替代方法
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凯利方法是不是真的能够满足交易员的需求呢？和以往一样，答案是：要视具体情况而定。交易员所面临的外部制约条件是什么？在个人账户里，没有其他人可以在账户大幅缩水时制止他交易，因此交易员可以很满意地使用凯利规则，并在凯利比率基础上调整投入比例来对账户波动率进行调整。类似地，如果某策略能在短时间内有大量的交易，我们更能接受以凯利比率来执行交易，因为此时凯利方法的长期效果会来得更快一些，以降低任何方差效应。但如果交易员是在为某个机构交易，或者有其他人在监管交易账户时，凯利规则可能并不能与交易员的利益保持一致。当有机会赚取利润时，交易员并不在意最优的长期增长率。交易员会为了更确定的短期利润而牺牲长期增长潜力。
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上面曾经提到，凯利方法能够超越其他策略，那么交易员应该怎样做才能获得更好的结果呢？他可以通过放弃策略中永远不可能破产的特点，从而获得更高的短期确定利润（当以凯利比率交易，或者采用任何其他比例交易的资金管理模式时，我们永远都不会破产。但这只是理论上的观点，因为当发生90%的资产缩水时，大部分交易员就会被解雇，90%资产缩水和破产没什么太大区别）。为了了解这个权衡的基本原则，我们现在研究一下Oscar的系统，这是一个在20世纪50年代由骰子玩家（Wilson，1965）最先设计出的累进下注系统。
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累进下注系统并不能把期望盈利为负的赌局变为期望盈利为正的赌局，它并不是一个魔术，但是下注额度的算法可以改变赌局的支付进程的某些方面。在前面，我们已经观察到了这点。我们之前注意到，损失后双倍下注的方法会产生偏度。此外，比例化的凯利系统可以减小资产缩水的程度，但是同样带来略少的收益。Oscar想要一个完全不同的系统。他只希望每周末在拉斯维加斯投下的钱都可以得到一些小额的收益，所以他设计了一个在短期内就能够有出色表现的累进系统。
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累进下注共分为两种基本类别：正向累进和负向累进。在一个正向累进系统中，主要观点就是在获胜之后增加赌注。这意味着每次增加的赌注主要都是由之前的利润支撑的。凯利模式就是一个正向累进系统的例子。
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负向累进系统的主要观点就是在失败之后增加赌注。它试图在失败之后尽快获利回本，但这样的风险更大，因为几次亏损就可能让你迅速破产。但是，这个下注系统的诱人之处在于，它能够使你在失败次数多于获胜次数的一系列赌局之后仍然可能保持盈利。因为每次失败以后都会提高下注额，所以回本所需要的获胜次数会比失败次数少。另一个结果就是：当连续输了足够多次之后，你就会破产。
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许多人尝试将这两种系统的优点结合起来，Oscar的系统就是其中之一。Oscar想实现的获利目标为1个单位。在每一场赌局开始时，下注额都为1。如果获胜则停止赌局。如果输了，则下一次赌局的下注额保持不变（所以与凯利系统相比，我们承担了更多的风险，因为在失败之后我们的下注额相对于账户的比例提高了）。在一次获胜后，下一次赌局的下注额会比前一次增加1个单位。因此，在实现获利目标的过程中，我们的赌注可能会变得非常大。