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图8-12 Browne比率和实现目标的概率
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Browne同样证明了，这个策略击败其他策略所需要的期望时间为：
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所以现在我们把这个策略与之前的凯利策略的结果进行比较。比较的结果在表8-3中。
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表8-3 Browne策略超越竞争策略10%时所需的时间
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这些数据都远远优于凯利策略。凯利策略需要10286年才能够比纯股票收益率高10%（95%的置信区间）。虽然按凯利规则交易能够保证破产概率为0，但Browne策略大大缩短了期望时间，因此承担这点小小的风险还是值得的。
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如上面提到的，以所需时间为判断标准，这个方法远远优于凯利策略，但它也承担了更多的风险。具体来说，我们期望实现目标的概率为V，破产的概率为1-V，其中：
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式中，μZ为该资产的期望漂移量；V在图8-12中已经有所体现。
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正如在上面提到的，由于引入了效用函数，我们需要明确成功的具体含义。
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截至目前，我们研究的交易情景都是静态的。要么是我们有机会执行一次交易（或赌局），然后观察结果的收益是怎样的，要么是有机会投资一种有着固定漂移量和波动率的资产。一个更现实的情况是，我们关注的所有参数都在不断变化。尤其是在第5章中，我们了解到隐含波动率是一个均值回复的过程。考虑这些情形后，会导致一个看上去有些矛盾的局面。
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Proebsting的矛盾是，凯利规则的使用看上去会导致破产这一违反直觉的结果。就像大多数“矛盾”一样，这个矛盾也是可以解决的，但仔细考察这一争论和它的解法也是有所裨益的。Todd Proebsting在一封写过Edward Thorpe的电子邮件中首先指出了这个矛盾，Thorpe后来在写给Wilmott Magazine的文章（Thorpe，2008）中写了出来。
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假设这样一种情形，某个赌徒参加了胜率为50%的赌局。赢了则获得2美元，输了则损失1美元。式（8-5）告诉我们，此时的凯利比率为0.25。现在，在游戏开始之前，该赌徒参加了针对同一事件的另一个赌局。这个赌局会在赢时获得5美元，输时则仍损失1美元。现在我们需要为这个新的机会确定账户金额的比例f。在赌局结束时，该赌徒的账户金额要么是1.5W0+5fW0（赢时），要么是0.75W0-fW0（输时）。因此我们可以最大化下式：
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结果为f=0.225。
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因此总的比率（首个2/1的赌局和后一个5/1的赌局）为0.425。矛盾在于，如果只有5/1的赌局，那么凯利比率会为0.4。因此，当一部分赌局处于更糟的局面时，使用凯利准则会让我们赌得更多。
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更需要警惕的是，如果该赌徒能够参加更多赔率越来越好的赌局，那他最终会赌上全部的钱（在下注限额内）。这会让他破产的机会变为100%，而这种局面是设计凯利准则来避免的情形。
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Proebsting的矛盾非常重要，因为这种情形会在交易中持续出现。价格在连续变化，而我们的盈利优势（赔率）也会随之变化。对该矛盾的最好解法是Aaron Brown所提出的（同样在写给Ed Thorpe的电子邮件中）。Brown用金融理论中的一个罕见例子来说明了一个赌博事件，而不是相反，其中他使用了盯市的概念。
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特别地，当该赌徒能够参加5/1的赌局时，从盯市的角度来看，他的2/1的赌局就是一个差的赌局。该赌局可能不会进行，但只要我们能够以相同的成本参加一个更好赔率的赌局，那它就是一个不好的赌局。并且，正如所有衍生品交易员都应该知道的那样，每日的盈亏才是真正重要的，而不是将交易持有至到期时的结果。当赔率从2/1变为5/1时，该赌徒的账户金额会发生什么样的变化呢？相应地，他需要支付多少钱才能从赔率为2/1变成当前市场价格5/1呢？这时的γ值满足下式：
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也就是说，先用0.25倍账户金额来参与2/1的赌局，当赌局还未开始时，赔率变为5/1，这会让账户金额改变-0.5×0.25W=-0.125W，然后再对5/1的赌局下注。