1703597394
1703597395
1703597396
香农的价值582717.50美元的投资组合在2015年大约折合150万美元。这一数字不包括香农持有的另外一只股票数据海运国际公司（Datamarine International）的价值，香农告诉赫什伯格这是投资组合中表现最糟糕的。香农于1971年买进这只股票，从那时开始起算，它只有13％的年均增长率。
1703597397
1703597398
观察1981年快照，可以看到香农投资组合中有两个显著的特点。首先是高度集中：整整81%的投资组合资金配置在达因公司。他的第二大持股——摩托罗拉公司，占了投资组合的另外12％的资金。惠普是第三大持股，占比是5%多一点。另外七个持股合计仅占比2％。极度集中的原因是香农投资组合中第二个显著的特点：他不改变持有规模。香农在股价上升的过程中，只是简单地保留投资。这使得他在摩托罗拉身上最初的投资翻了57倍。 达因公司是他最大的投资，令人难以置信地翻了194倍。惠普是他的第二大持股，在其平均购买价的基础上翻了630倍。甚至那些持有规模较小的持股也证明了他偏爱在公司成长过程中保留持仓。马斯可公司在投资组合中占比近1%，翻了17倍。皇冠柯克－西尔公司占投资组合的0.3％，相对于他最初的投资也上升了非常可观的三倍。香农投资的高度集中和不愿卖出是他有意识的抉择。他跟赫什伯格说，自己在过去30年中的任何时候，都没有试图去平衡他的投资组合：
1703597399
1703597400
如果不是出于税收方面的考虑我也许会这样做。我愿意在必要时为我们的投资贷款，而不是卖出我们的股票并转换成生息工具。
1703597401
1703597402
香农的前三大重仓的持股占到他投资组合的98％，而且这些公司都和麻省理工学院及贝尔实验室有联系。 达因公司是香农在美国麻省理工学院的同班同学辛格尔顿创建的，摩托罗拉是麻省理工学院开办的新兴企业科德斯公司的新名字，惠普公司则接管了他的贝尔实验室同事的哈里森实验室。香农对赫什伯格解释道，“在某种程度上，这些投资和我的工作很相近，就相当于从‘噪声’中提取和传输信号。”他继续指出，一个聪明的投资者应该“明白他在哪儿占有优势并且只投资这些机会。”他似乎在暗示自己在投资时运用了凯利公式。虽然香农在直观理解上认为凯利公式可以应用到股市，但是他自己的投资组合记录表明他实际上没有运用这一准则。“运用凯利准则”的标志将落到索普身上。
1703597403
1703597404
索普和凯利理论的应用
1703597405
1703597406
在1969年11月，索普成立了他认为的世界上第一个市场中性的对冲基金，可转换对冲基金（Convertible Hedge Associates）。基金使用认股权证，场外（OTC）期权，可转换债券，优先股和普通股构建一个Delta中性投资组合，这是一个不受基础普通股影响的投资组合。和香农一样，索普也试图利用股价的随机游走现象，然而这并不是借助“香农的恶魔”投资方法，而是利用可转债套利。虽然索普的投资策略是相当复杂的，但和“香农的恶魔”投资方法一样，都是使用不断再平衡的方法，在组合证券回归均值的过程中，尽量从证券价格的变化中获得微小利润。在他1967年继《打败庄家》后出版的《打败市场》一书中，索普将他的投资过程描述为一个“科学的证券市场体系”，这或许是对香农的“科学投资”演讲的赞同。不同的是，索普的策略是在一篮子应该以相同价格交易的证券中寻求套利的机会。举个例子，在1974年，美国汽车公司的可转换债券按照与其标的股票相同的价格进行交易，并支付8.3％的票息率。索普卖空股票而做多债券，同时享有票息。他后来在评论这次交易时指出，“简单明了的情形并不多见，但我们就像这样让生活的大部分都脱离了这样的情形。”这些情形比任何投资的风险都小。如果索普卖空的股票上涨，那么他会从与股票一起上涨的可转换债券的多头地位中获得保护。如果可转债的价格没有水涨船高的话，那么当两者之间的价差拉大到一定程度时，索普将会做出卖空的交易。他可以简单地将可转债转换为股票，然后清仓。如果他的多头仓位，即可转债的价格下跌，他将从与可转债一起下跌的股票的空头地位中受到保护。如果股票价格没有下跌，当两者之间的价差拉大到一定地步时，他也可以简单地清仓，并且没有损失，或继续享有票息。索普就这样日复一日地寻找默默无闻，成交量小的证券所潜伏的微小套利机会。
1703597407
1703597408
在Ma Bell解体之前，索普已经从事套利交易十余年。跟之前每次套利的情况一样，索普优先选择Ma Bell，这种情况下使用凯利准则，需要非常大的投资规模。通常，投资规模的限制因素不是凯利公式，而是证券的流动性。认股权证？场外期权？可转换债券？大多数投资者甚至从来没有听说过，更不用说理解其中一个工具和其余工具的关系。这就是优先选择微小的套利机会的原因。证券是非同寻常的，并且难以交易。Ma Bell则有所不同。这是证券交易所里最大的公司，并且交易规模巨大。如果“预发行”证券异乎寻常，它不会在价格上有所反应。他们将按照较低的溢价和Ma Bell交易，尽管他们从事着完全一样的业务。索普发现了一个难得的机会：一个庞大、高流动性、无风险的机会。凯利告诉他要准备大宗交易，而这正是他要做的。在他的经纪人允许的范围里，他在投资组合中每笔投资上都尽可能多地配置资金：足足10亿美金的三分之二，并且为他的基金赚取了相对微小但是毫无风险的利润——250万美金。这笔交易的规模足以让华尔街为之侧目。交易的细节披露了出来——曾经的数学教授，以前的专业二十一点玩家，索普，利用可转债套利赚取了无风险的利润——他第二次变得小有名气，凯利公式终于得到了大家的认同。
1703597409
1703597410
不是每个人都迷恋这个准则。经济学家保罗·萨缪尔森——第一个获得诺贝尔经济学奖的美国人，被《纽约时报》认为是20世纪最重要的美国经济学家——被这个准则彻底激怒，甚至写了一篇文章来反驳它。这篇名为《为什么我们不能最大化财富的对数均值虽然我们可以投资的年限很长》（Why We Should Not Make Mean Log of Wealth Big Though Years To Act Are Long）的论文发表在1979年某一期《银行与金融》杂志上。对于这样著名的出版物来说，这篇论文的入选显得极其不同寻常。因为除了最后一个单词“音节”，萨缪尔森通篇使用单音节的词汇写下了这篇论文，可能这样做是为了让他聪明的对手可以更深刻地理解这篇文章。以下是论文的精华内容：
1703597411
1703597412
为什么仍然有一些人认为他们应该利用巨额的资本赚取相对微小的收益？他们点头，并且感觉“这样做的话，我一定会得到更多的钱，更多肯定比更少要好”。但是他们错了，他们没有注意到：
1703597413
1703597414
当你遭遇损失时——你总有遭遇损失的时候——基数越大，你损失的就越多。证毕！
1703597415
1703597416
萨缪尔森的观点是，不同人对于冒着巨大损失的风险去追求最大利益的态度是不一样的。举个例子，如果可能的亏损大到足以影响他/她的生活方式，那么最大化的收益对一个已经很富有的人而言就没有多少吸引力。凯利公式的目的是逐期谋求财富对数预期值的最大化，但是它所建议的赌注规模一般非常大，并且在短期内波动也很大。寻求避免凯利赌注的巨大波动，一些投资者将公式建议的赌注规模减半。这个所谓的半凯利赌注，波动是完整凯利赌注的一半，收益是它的四分之三。半凯利赌注永远不会比完整凯利的多。对于任何给定的优势和赔率，凯利准则都已经给出了最大赌注规模。过度下注不会增加收益，甚至可能会增加降低收益的风险。图3.2出自索普在2010年合著的论文，显示了在下注规模减半之前倍增的概率、增加四倍的概率，及用于下注二十一点的那部分资本的相对增长率（优势为2%， p = 0.51， q = 0.49）。
1703597417
1703597418
这揭示了凯利公式的主要缺点。当赔率变得更有利时，推荐的赌注规模也越来越大，这是很激进的。很少人有这么大的胃口，即使是在Ma Bell解体过程中进行豪赌的索普，也在许多其他场合下建议使用 “部分凯利下注”——其赌注规模在任何场合下都低于全凯利准则。在2010年的论文中，索普讲述了他如何与比尔·津巴（Bill Ziemba） ——文章的另一个作者，在1984年育马者杯世界锦标赛上开幕式经典300万美元竞赛中，利用凯利公式确定赌注大小的故事，这一比赛被许多人认为是美国年度最大的纯种赛马比赛。凯利公式推荐的最优下注规模是在买5赔8的赔率下对名为“满地黄金”（Slew of Gold）的赛马下注64％的资金。索普和津巴参与了“名次赌”和“表演赌”（在“名次赌”中，赛马必须获得第一或第二，赌客才能得到赌金；在“表演赌”中，要求赛马获得第一、或者第二，抑或第三，赌客才能获得赌金。在这两种赌法中，赔率都比简单直接的“冠军赌”要低，即使在该赌局中选中的赛马赢得了冠军亦是如此）。索普和津巴使用了“较小比例凯利赌注”。“满地黄金”最终名列第三，但成绩第二的“盖特舞者”（Gate Dancer）被取消资格并下调到第三位，津巴因此记录道——“在赌场中，运气是个好东西”。
1703597419
1703597420
1703597421
1703597422
1703597423
1703597424
1703597425
凯利公式的原理是很简单的：当你有优势时，赌大一点；当你没有优势时，不参与赌局。凯恩斯曾经被描述为“凯利式赌客”。他相信这一洞见，但他回避尝试数学上的精确计算，因为“我们现有的知识不能为计算数学期望提供充分的依据”。 凯利方法计算最佳投资规模的美妙之处在于它对于风险把控得很精确。凯利公式寻求最大化的复利回报率，并明确捕捉到预期结果不会出现的可能性。因此，凯利公式从来没有失败的风险。它一直在寻找一个平衡，当概率有利于投资者时，谋求最大化的回报；当概率不利时，规避损失。凯利下注的缺点是有利的赔率和成功的好机会诱发巨大的下注规模——下注金额相对于总资金的比例变大，这使得其对于许多投资者来说波动太大。对于很多投资者而言，解决方案是采用“部分凯利下注”。凯利赌注应该被视为最大下注规模。超过凯利下注的额外投入不会增加回报，而且会增加损失的风险。凯利准则的所有本质特征和我们如何投注的直觉是一致的。凯利通过给博彩理论注入数学的严谨性使得后者更进一步。他指出，从长久来看，“凯利下注式”投资者的资金最终将超越任何使用其他策略的人的资金。
1703597426
1703597427
索普推广了凯利公式，并且是第一个应用它的赌客和投资者，而非价值投资者。他在《打败市场》 一书的引言中写道，他曾尝试进行价值投资：
1703597428
1703597429
我进攻的路线就是寻找“价值”。这是股市的基本分析方法。这一派别的成员相信每一只股票都有“天生”的价值（也被称作固有的价值），并经常在市场价格上表现出差异。未来收益流和分红决定了固有价值。
1703597430
1703597431
……
1703597432
1703597433
基本面投资者研究财务报表、行业和公司前景、管理能力、政府政策以及其他任何他认为会影响未来收益的东西。这将引导他评估每股的未来收入流，随后将之转换成内在价值。如果股票的市场价格低于他计算的内在价值，那么它是有吸引力的；如果市场价格高于内在价值，那么就回避这只股票。
1703597434
1703597435
索普最终在转向套利交易之前放弃了价值投资，因为他发现这种方法根本不赚钱：
1703597436
1703597437
我使用的基本分析越多，我挣的钱就越少，而有些很成功的朋友在他们的投资上想法就很少……当在实践操作中出现困难时，我对基本分析的兴趣也越来越弱。预估未来一年或者两年的收入几乎不可能。这还不是最困难的。购买被低估的股票后，很重要的一点是，必须要有其他人也做出类似的计算，然后他们要么买进要么希望买进，这才会推动股票价格走高。然而许多低估的股票，它们的价格常年保持低迷不振，最终挫败那个正确而巧妙地计算出未来预期的持股者。
1703597438
1703597439
沃伦·巴菲特可能是第一个将凯利理论应用于价值投资的人。在下一章里，我们将考察他是如何利用凯利理论建立起伯克希尔·哈撒韦公司的。
1703597440
1703597441
1703597442
1703597443