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不是每个人都迷恋这个准则。经济学家保罗·萨缪尔森——第一个获得诺贝尔经济学奖的美国人，被《纽约时报》认为是20世纪最重要的美国经济学家——被这个准则彻底激怒，甚至写了一篇文章来反驳它。这篇名为《为什么我们不能最大化财富的对数均值虽然我们可以投资的年限很长》（Why We Should Not Make Mean Log of Wealth Big Though Years To Act Are Long）的论文发表在1979年某一期《银行与金融》杂志上。对于这样著名的出版物来说，这篇论文的入选显得极其不同寻常。因为除了最后一个单词“音节”，萨缪尔森通篇使用单音节的词汇写下了这篇论文，可能这样做是为了让他聪明的对手可以更深刻地理解这篇文章。以下是论文的精华内容：
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为什么仍然有一些人认为他们应该利用巨额的资本赚取相对微小的收益？他们点头，并且感觉“这样做的话，我一定会得到更多的钱，更多肯定比更少要好”。但是他们错了，他们没有注意到：
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当你遭遇损失时——你总有遭遇损失的时候——基数越大，你损失的就越多。证毕！
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萨缪尔森的观点是，不同人对于冒着巨大损失的风险去追求最大利益的态度是不一样的。举个例子，如果可能的亏损大到足以影响他/她的生活方式，那么最大化的收益对一个已经很富有的人而言就没有多少吸引力。凯利公式的目的是逐期谋求财富对数预期值的最大化，但是它所建议的赌注规模一般非常大，并且在短期内波动也很大。寻求避免凯利赌注的巨大波动，一些投资者将公式建议的赌注规模减半。这个所谓的半凯利赌注，波动是完整凯利赌注的一半，收益是它的四分之三。半凯利赌注永远不会比完整凯利的多。对于任何给定的优势和赔率，凯利准则都已经给出了最大赌注规模。过度下注不会增加收益，甚至可能会增加降低收益的风险。图3.2出自索普在2010年合著的论文，显示了在下注规模减半之前倍增的概率、增加四倍的概率，及用于下注二十一点的那部分资本的相对增长率（优势为2%， p = 0.51， q = 0.49）。
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这揭示了凯利公式的主要缺点。当赔率变得更有利时，推荐的赌注规模也越来越大，这是很激进的。很少人有这么大的胃口，即使是在Ma Bell解体过程中进行豪赌的索普，也在许多其他场合下建议使用 “部分凯利下注”——其赌注规模在任何场合下都低于全凯利准则。在2010年的论文中，索普讲述了他如何与比尔·津巴（Bill Ziemba） ——文章的另一个作者，在1984年育马者杯世界锦标赛上开幕式经典300万美元竞赛中，利用凯利公式确定赌注大小的故事，这一比赛被许多人认为是美国年度最大的纯种赛马比赛。凯利公式推荐的最优下注规模是在买5赔8的赔率下对名为“满地黄金”（Slew of Gold）的赛马下注64％的资金。索普和津巴参与了“名次赌”和“表演赌”（在“名次赌”中，赛马必须获得第一或第二，赌客才能得到赌金；在“表演赌”中，要求赛马获得第一、或者第二，抑或第三，赌客才能获得赌金。在这两种赌法中，赔率都比简单直接的“冠军赌”要低，即使在该赌局中选中的赛马赢得了冠军亦是如此）。索普和津巴使用了“较小比例凯利赌注”。“满地黄金”最终名列第三，但成绩第二的“盖特舞者”（Gate Dancer）被取消资格并下调到第三位，津巴因此记录道——“在赌场中，运气是个好东西”。
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凯利公式的原理是很简单的：当你有优势时，赌大一点；当你没有优势时，不参与赌局。凯恩斯曾经被描述为“凯利式赌客”。他相信这一洞见，但他回避尝试数学上的精确计算，因为“我们现有的知识不能为计算数学期望提供充分的依据”。 凯利方法计算最佳投资规模的美妙之处在于它对于风险把控得很精确。凯利公式寻求最大化的复利回报率，并明确捕捉到预期结果不会出现的可能性。因此，凯利公式从来没有失败的风险。它一直在寻找一个平衡，当概率有利于投资者时，谋求最大化的回报；当概率不利时，规避损失。凯利下注的缺点是有利的赔率和成功的好机会诱发巨大的下注规模——下注金额相对于总资金的比例变大，这使得其对于许多投资者来说波动太大。对于很多投资者而言，解决方案是采用“部分凯利下注”。凯利赌注应该被视为最大下注规模。超过凯利下注的额外投入不会增加回报，而且会增加损失的风险。凯利准则的所有本质特征和我们如何投注的直觉是一致的。凯利通过给博彩理论注入数学的严谨性使得后者更进一步。他指出，从长久来看，“凯利下注式”投资者的资金最终将超越任何使用其他策略的人的资金。
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索普推广了凯利公式，并且是第一个应用它的赌客和投资者，而非价值投资者。他在《打败市场》 一书的引言中写道，他曾尝试进行价值投资：
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我进攻的路线就是寻找“价值”。这是股市的基本分析方法。这一派别的成员相信每一只股票都有“天生”的价值（也被称作固有的价值），并经常在市场价格上表现出差异。未来收益流和分红决定了固有价值。
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……
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基本面投资者研究财务报表、行业和公司前景、管理能力、政府政策以及其他任何他认为会影响未来收益的东西。这将引导他评估每股的未来收入流，随后将之转换成内在价值。如果股票的市场价格低于他计算的内在价值，那么它是有吸引力的；如果市场价格高于内在价值，那么就回避这只股票。
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索普最终在转向套利交易之前放弃了价值投资，因为他发现这种方法根本不赚钱：
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我使用的基本分析越多，我挣的钱就越少，而有些很成功的朋友在他们的投资上想法就很少……当在实践操作中出现困难时，我对基本分析的兴趣也越来越弱。预估未来一年或者两年的收入几乎不可能。这还不是最困难的。购买被低估的股票后，很重要的一点是，必须要有其他人也做出类似的计算，然后他们要么买进要么希望买进，这才会推动股票价格走高。然而许多低估的股票，它们的价格常年保持低迷不振，最终挫败那个正确而巧妙地计算出未来预期的持股者。
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沃伦·巴菲特可能是第一个将凯利理论应用于价值投资的人。在下一章里，我们将考察他是如何利用凯利理论建立起伯克希尔·哈撒韦公司的。
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集中投资：巴菲特和查理·芒格推崇的投资策略 [:1703596770]
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集中投资：巴菲特和查理·芒格推崇的投资策略 第4章 沃伦·巴菲特：遵循凯利公式的“股神”
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我们所采用的投资策略与下述标准的分散化投资信条有所不同。许多专家因此声称这样的投资策略会比人数更多的传统投资者所采用的投资方法更具风险。我们对此不以不然。我们相信，如果集中投资的投资组合能够——它也本应如此——同时提升投资者对于一家企业进行的思考的深度，和投资者在买进一家企业股票前对其盈利特性所感受到的舒适度，那么这种投资策略将很好地降低风险。在说明这种观点的过程中，我们使用词典的术语，将风险定义为“遭遇损失或者受伤的可能性”。
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——沃伦·巴菲特
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坐落于新泽西，由安东尼·德·安杰利斯（Anthony “Tino” De Angelis）经营的联合天然植物油公司（Allied Crude Vegetable Oil Company）是一家批发商，同时也是买卖植物油期货合约的商品交易商。联合天然公司能够在行业中脱颖而出，凭借的是它所拥有的以远低于任何一家竞争者的价格出售用于制作色拉的豆油的能力。德·安杰利斯的超低价格使公司营业额奇迹般地增长，直到1963年11月，这家商业帝国轰然倒塌。为了帮助债权人追索剩余债务，破产管理者对联合天然公司的破产情况展开了调查，发现公司的油罐里根本就没有豆油，而是充斥着海水和空气。事件的真相很快水落石出，德·安杰利斯出售的低价植物油，居然是联合天然公司不曾拥有的色拉油，甚至这些油根本就不存在。德·安杰利斯宣称拥有18亿磅的豆油——超过了当时全世界的豆油存量——而事实上，他的油罐中储存的豆油只有1.1亿磅。联合天然公司虚构售出的豆油价值合计达1.75亿美元。他是怎么做到的呢？德·安杰利斯利用了每个小学学龄的孩子都知道的常识——油漂在水上。当运输船抵达港口时，检验载货内容的检查员确认油罐的上面几英尺确实是豆油，却没有意识到德·安杰利斯先将油罐灌满了水，然后在水面上覆盖了一层色拉油。公司先带着检查员去享用中午大餐，然后将这些油转移到仓库中新的油罐中，再向昏昏欲睡的正消化美食的检查员们展示那些油罐。
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《华尔街日报》记者诺曼·C. 米勒（Norman C. Miller）写了一本名为《色拉油大骗局》的书，并据此获得了普利策新闻奖。之后，“色拉油大骗局”变得家喻户晓，成为当时最臭名昭著的公司丑闻。最终，德·安杰利斯因为欺诈罪和串谋罪被判入狱服刑7年，还连累华尔街一家大型经纪商破产。在寻找资金雄厚的财团来偿付巨额损失的过程中，债权人发现美国运通公司的一家子公司为德·安杰利斯签发了价值1.44亿美元的仓库收据，用于确认后者油罐中的豆油储存数量。面对全额索赔，美国运通看上去难逃一劫。这一数量的赔偿判决相当于美国运通1964年盈利的10倍——可能将公司置于死地。公司的股价一夜之间大幅缩水。
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这件事激起了当时还未曾出名的沃伦巴菲特的兴趣。他让自己的经纪人，亨利·勃兰特（Henry Brandt）去调查银行、酒店、旅馆以及任何使用美国运通信用卡的其他人员，以搜集关于运通公司的流言蜚语。巴菲特自己也前往奥马哈的酒店，他发现这些酒店依然接受美国运通的信用卡。他对这些关于运通的闲言碎语进行评估，得出的结论是：由于受到财务冲击的影响，美国运通会暂时地步入颓势，但是这并不会破坏公司潜在的预期盈利能力。运通“依旧是一家有着特许经营权的超级企业，它只是在局部患上了可切除的肿瘤”，公司会存续下来。巴菲特迅速展开行动，将合伙人资本的40%投资买进运通的股票。这是巴菲特和合伙人们做出的最大的一笔投资，他们按照1300万美元的成本，控制了美国运通超过5%的股份。 1965年，美国运通和联合天然公司的债权人达成6000万美元的赔偿协议，前者曾经跳水到35美元的股价迅速冲高到49美元一股。很快，巴菲特持有的仓位翻了5倍多，他在这时清空了运通的股票。
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无论从资金规模还是资金占比的角度来看，针对美国运通的这次投资都是巴菲特合伙公司做出的最大单笔投资，与此同时，巴菲特也做到了在集中大规模投资方面的最好投资业绩。 1959年，合伙公司最大的一笔投资集中在桑伯恩地图公司（Sanborn Map），投资资金达到合伙公司资产的35%。桑伯恩地图是一家绘制精细地图的出版商，内容涵盖了全美国各个城市的输电线、自来水管道、私人车道、建筑工程、房顶构造以及紧急楼梯。火险公司购买了大量桑伯恩地图，并借助它们承办保险。桑伯恩一度成为全美国最成功的地图公司。 1961年，巴菲特在致合伙人的信中解释道，公司的价值极有吸引力：尽管伴随着竞争的出现及保险公司的合并，桑伯恩的营业额有所下滑——其经营效益从20世纪30年代的年均50万美元的盈利，下滑到1958年的10万美元盈利（当年的营业额是250万美元） ——但是公司拥有价值超过700万美元的投资组合，或每股价值65美元。但是市场上交易的桑伯恩股份，一股市价是45美元。巴菲特注意到， 1938年，桑伯恩股票市价是110美元一股，而公司持有的投资组合价值20美元一股，也就是说，当时公司的业务价值是90美元一股。到了20年后的1958年， 45美元的市价表明同样的地图公司，其业务价值是每股负20美元，或者公司的投资组合价值摊派到每股上价值69美分，如果购买公司的业务则是免费的。如此大的折价给巨额投资提供了一定保证，于是巴菲特将合伙公司三分之一的资产投资买进了桑伯恩公司的股票。他最终还说服桑伯恩公司的董事会回购了72%的股票——公司的1600名股东由此减少了一半——采取的方法是按照公允价值，利用公司持有的投资组合的股份来置换公司股份。结果就是，剩下的股东持有的资产价值略微上涨，桑伯恩公司股票每股收益大幅上升，股息率也有所上升。
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尽管将合伙公司资本的巨大份额投资于个别股票是巴菲特的一贯特色，但是巴菲特投资美国运通的意义在于，他在投资风格上摒弃了在桑伯恩地图公司身上进行的格雷厄姆式投资。桑伯恩地图公司是一个纯粹统计上的低估公司，巴菲特后来把它比喻成“烟蒂股”，形容一家公司经营差劲，业绩平平，但是在被清算的时候，资产负债表中所包含的价值能得以实现。与之相反，美国运通是一家很优秀的企业，但是相对于巴菲特支付的价格， 其资产负债表蕴含的价值很低。 在1989年的致股东信中，巴菲特描述了自己摒弃“烟蒂股”式投资的原因：