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图4–3 白银的非货币需求：1880~1914年实际的和预期的，线性的和对数回归的
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注：因变量：白银的非货币需求（按百万盎司计）；自变量：世界收入，白银和黄金的实际价格。
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c.估算供给和需求。把方程（5）和（9）列出，重新整理各个项，得出
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（10）UMDSH=SPROD–EWMDS– 58.28 – 2.13WI– 0.88RPGH+ 66.21RPSH
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为简化起见，我们用k2代表方程（10）右边的所有各项，除最后一项外，用x代表我们的目标项，即白银的假设实际价格。所有各项也都是时间的函数，但是，考虑到目前为止我们的假设情况，我们已经对1874~1914年每个年份的k1值和k2值进行了估算。
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根据各项的符号，我们用方程式（6）重新写出方程式（7），如下：
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把方程式（10）和方程式（11）列出，并进行简化，得出
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现在，方程式（12）就是简单的二元方程式，除了在分母中包括x(t–1)在内的数项有些麻烦外。这个x(t–1)就是我们一直想要确定的未知数之一。首先做第一次近似计算，假设白银的实际价格不会每年发生变化，也就是说，x(t)等于x(t–1)。在这个假设之下，方程式（12）就可以简化成方程式（13），尽管它的确包含前一年的k1值，但是通过用Δk1来替换k1(t)–k1(t–1)，这个方程只包含当年的未知数x值。
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（13） 66.21x2+k2x– Δk1= 0
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这个方程的解就是x的第一近似值。
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在进行第二、第三和以此类推的近似值计算时，我们可以回到方程式（12），用前一个近似值估算来替换x(t–1)。尽管计算相当缓慢，但是依次计算出来的近似值会逐步趋于某一点。主要的变化并不是出现在同一水平上或一般模式上，而是出现在逐年的移动上。但是在每一次近似值计算中，我们都会在系列数值的开端损失一个数值。到第11次近似值计算的时候，我停了下来，那一年刚好是1884年，是第一次获得估算值的年份。对于较早年份，我只是使用了早些时候得到的近似值，并且从1876年第三个年份开始使用近似值，这一年正好是银本位制可能实行的起始年。[7]考虑到这是对白银的实际价格进行估算，我们只需把法定价格除以实际价格，就可以估算出银本位制下假设的价格水平。对美国假设的价格水平进行估算的结果已经反映在图3–3中。
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d.金银比价。由于我们已经估算出黄金的假设价格，因此，得出的金银的假设比价已经无足轻重了。其结果已经与金银的实际和法定比价一起反映在图3–2中。考虑到这些均是任意假设，以及不可避免会出现影响我们估算的测量误差，并且考虑到在某种程度上它们已经受到这一时期货币不确定性的影响，因此，在美国实行银本位制的情况下，金银的实际比价几乎肯定比我们估算的金银的假设比价波动更小。
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这些估算表明，如果美国在1879年恢复复本位制并且一直延续这种状况，金银的市场比价将会与美国法定比价大致相等或略微高出一点——与法国的情况如出一辙，在将近一个世纪内市场比价与法定比价大致相等（表4–1是绘制图3–2、图3–3和图3–4时所使用的数值）。
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5.一个更准确的估算。原则上，对黄金和白银进行估算时遵循相同的步骤，或许能够同时获得黄金和白银实际价格的答案，即估算（a）黄金非货币用途的需求方程，和（b）假设美国坚持实行银本位制的情况下，它可能需要的黄金假设数量。但是，沿着这个思路进行研究，结果却令人失望。首先，对黄金的非货币假设需求进行估算比对白银进行估算显得更加困难。[8]其次，估算的黄金需求方程得到的结果是负数，尽管这在统计上并不重要，但是预计可以用白银的实际价格系数而不是正系数来替换黄金的实际价格系数。[9]这个结果与黄金实际价格在白银需求方程式中的正系数不相符合，违背了斯勒茨基方程的条件。要想消除这种矛盾，必须同时估算白银和黄金的需求方程式，并强制增加适当的交叉方程的限制。由于在两个独立方程式中出现了巨大的差异，我很怀疑结果是否可信。最后，一旦解决了这些问题，还必须同时解出在美国价格水平上出现的一个四次方程。
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因此，我陷入了困境。我对我的研究工作很不满意，但是令我更加不满意的是一个非常明显的抉择：简化的一般均衡分析。综合的一般均衡分析不仅包括黄金和白银产量的决定因素（这是我完全忽略的东西），还包括流向货币和非货币用途的部分黄金产量和部分白银产量的决定因素。创建如此扩展的一般均衡分析模型将会极其辛苦，而且把握极小。在这种情况下，我倾向于不去管它，而与此同时，我不得不承认我的估算通常会出现大的偏差——尤其在估算逐年移动上更是如此。
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资料来源说明
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（按变量在本章节出现的顺序排列）
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