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他最知名的成果，是发表于1873年（也就是他去世前3年）的《关于刑事案件和民事案件审判概率的研究》（Researches on the Probability of Criminal and Civil Verdicts）。现在的数学家们对这篇论文的研究主题——创建一个完善的司法体系，没有丝毫兴趣。然而，这篇论文的重要性再怎么强调都不为过，因为它建立了基本的统计学理论。这一理论已经广泛应用于现今大部分研究领域中。
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在这篇颇具创意的论文中，泊松指出陪审员犯错的概率是可以计算的。我们只需要知道某个特定年份的案件总量以及被定罪的案件数量就够了。法国司法部会定期统计这些信息。
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统计结果表明，1852年有6652人被指控犯罪，其中只有60%的被告被定罪。利用这些数据和他推导出的公式，泊松计算出每个陪审团做出正确裁定的概率只有75%。令人称奇的不是他计算出的这一结果，而是他那种潜入每个审判员的脑中，发掘他们做出正确决断的概率的能力。
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利用芝加哥陪审团研究中心（Chicago Jury Study）的统计数据，艾伦·伊恩·吉尔方德（Alan E.Gelfand）和赫伯特·所罗门（Herbert Solomon）发现美国的陪审团的表现稍微好一点：他们做出正确裁定的概率为90%。与19世纪的法国前辈们相比，他们对待这项工作显然更严肃，也更用心。
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但是，我们对于现在司法体系的那些疑问真的能够消除吗？虽然蒂姆·德拉姆不这么认为，但是对我们其他人来说，事情确实有所好转。事实上，如果陪审团做出正确裁决的概率是90%，那么被告被冤枉的概率只有0.005%。这比陪审团出错概率为20%的情况要好上几百倍。1990年被定罪的案件有1993880起，其中包括谋杀、过失杀人、强奸、侵犯人身罪、抢劫、偷盗以及纵火罪。那么，根据上面的方法推算，只有40个罪犯是被冤枉的。如果你不是这倒霉的40人中的一个的话，这个数据听起来也不算多。
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泊松的悖论
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泊松的计算在哲学层面上存在一个深层假说：他荷载取值，假设人类行为是随机的，将事情简化了。不管你是最聪明的智者，还是最愚笨的傻瓜；不管你是法官，还是犯人；不管你是怀疑论者，还是迷信的信徒，一旦坐上陪审席，我们知道的只是你做出正确裁决的概率只有90%。这也就是说，泊松将不可预测性和偶然性等同而语了。他接着指出，一旦我们承认人类行为是最随机的，它突然之间就可以被预测了。
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爆发洞察
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这似乎是个悖论：如果不可预测性是指偶然性，那么偶然性又怎么能预测呢？答案很简单：泊松所谓的预测跟我们日常生活中追求的有所不同。跟伊斯特凡·泰勒格迪对教皇十字军的未来所做的预言不同，他的手法更像爱因斯坦推导原子运动规律。爱因斯坦知道推测出单个原子的运动轨迹是不可能的，所以转而假设原子的运动是随机的，然后推导出原子离释放点的距离遵循扩散理论。
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同样，泊松根本没去想陪审员是否做出了正确裁定，而是假设每个陪审员都像掷骰子那样投票：他们大部分时间是对的，但偶尔会出错，而且我们永远无法知道他们什么时候是对的，什么时候是错的。在这一假设的前提下，泊松利用定罪率的统计数据推导出了整个陪审系统的可靠性。
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为了更好地理解泊松的推导过程，我们先说说我的电话记录。
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我平均每天打12通电话，也就是说差不多每两个小时就会打一次。不过，根据这些你并不能推导出我将在何时打电话。但是，如果假设我打电话的模型是随机的，你就会对我的通讯问题有所了解。利用泊松的公式，你可以推算出我下个小时不打电话的可能性（这个概率是60%——也就是可能性很大），或者我连续打5通电话的可能性（概率是0.02%——不太可能）。利用他的公式，你也能推导出我一天之内不打电话的概率（0.001%——可能性极小）。
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尽管这种推测跟神谕完全不同，但也极具价值。
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假设一家电话集团的某个工程师负责测定在你所居住的小区安装的移动电话信号塔的容量。如果他设定的容量过低，很多电话就会掉线，用户和老板都会很不高兴；如果设定的容量过大，就会浪费公司的资源，不用说肯定也会惹恼老板。但如果这位工程师精确地知道你所在社区中每个人计划使用电话的时间，他就能预测出何时是高峰期，也就能计算出信号塔的容量最大值。
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但工程师不可能知道你将来的通话情况。不过，他知道每个用户平均每天要打3通电话。同时，他假设所有人的通话模型都是随意的，那么利用泊松的公式，他就能推测出任何时间点计划使用电话的人数。然后，他就可以设定足够大的容量，使得100部电话同时使用时掉线的电话不超过3部，以确保公司达到“无瑕疵”的移动服务的基准。
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如今，只要遇到无法理解的事情，我们就会说那是偶然。我们会看到，这种表面上的偶然行为推动了历史的演进，而事情发展之迂回曲折似乎如掷骰子一般。但这种偶然究竟意味着什么呢？
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为了找出答案，我们不妨掷骰子试试。每当点数是6时，你就在纸上画条竖线，而掷到其他点数——不管是1、2、3、4，还是5，你就画个点。我自己试着掷了400次，结果如下：
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虽然每次掷的点数无法预测，但整体是有规律可循的。也就是，大约每掷5到7次就会出现一次6，而掷100次都不出现6的可能性几乎为零——那样两条竖线之间的距离将非常长。事实上，正如泊松公式指出的，你掷上1亿次才有可能出现一次这种情况。同样，我们需要掷上一亿次，才会出现每行有10条竖线的情况，也就是说幸运地掷到10次6。
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虽然下次掷的点数是个谜，但在这种偶然性中还是存在某种神奇的规律。尽管存在明显的规律，但泊松过程实际上是一个再随意不过的过程了，因为它就是一系列偶然事件的累计。因而，偏离泊松预测常常代表某种隐藏的秩序，它们揭示了一种有待发现的更深层次的规律或模型。
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诚然，我们观察到的很多现象都绝非偶然，比如行星运动、亘古不变的日夜交替等。但另外一些现象，比如天气，看起来似乎纯粹是偶然。不过，正如理查森极力指出的，大气受制于一系列规律和方程式。现在，各地的气象学家都能通过计算成功预测天气情况。此前，人们认为很多现象，如日食、洪灾、旱灾都是受神秘的造物主支配。但现在这些现象都能够被人类预测。这告诉我们，偏离了随机性通常意味着某种基本规律有待人类发现。
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人类行为不是随机的
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