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1704417916 下面我们讨论双头垄断中两个企业相互竞争的另一模型。贝特兰德(1883)提出企业在竞争时选择的是产品价格,而不像古诺模型中选择产量。首先应该明确贝特兰德模型和古诺模型是两个不同的博弈,这一点十分重要:参与者的战略空间不同,收益函数不同,并且(随后就可清楚地看到)在两个模型的纳什均衡中,企业行为也不同。一些学者分别用古诺均衡和贝特兰德均衡来概括所有这些不同点,但这种提法有时可能会导致误解:它只表示古诺和贝特兰德博弈的差别,以及两个博弈中均衡行为的差别,而不是博弈中使用的均衡概念不同。在两个博弈中,所用的都是上节我们定义的纳什均衡。
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1704417918 我们考虑两种有差异的产品(产品完全相同的情况参见习题1.7)。如果企业1和企业2分别选择价格p1和p2,消费者对企业i的产品的需求为:
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1704417920 qi(pi,pj)=a-pi+bpj,
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1704417922 其中6>0,即只限于企业i的产品为企业j产品的替代品的情况(这个需求函数在现实中并不存在,因为只要企业j的产品价格足够高,无论企业i要多高的价格,对其产品的需求都是正的。后面将会讲到,只有在b<2时问题才有意义)。和前面讨论过的古诺模型相似,我们假定企业生产没有固定成本,并且边际成本为常数c,c<a,两个企业是同时行动(选择各自的价格)的。
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1704417924 和上节相同,要寻找纳什均衡首先需要把对问题的叙述化为博弈的标准式。参与者仍为两个,不过这里每个企业可以选择的战略是不同的价格,而不再是其产品产量。我们假定小于0的价格是没有意义的,但企业可选择任意非负价格——比方说用便士标价的商品,并无最高的价格限制。这样,每个企业的战略空间又可以表示为所有非负实数Si=[0,∞),其中企业i的一个典型战略si是所选择的价格pi>0。
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1704417926 我们仍假定每个企业的收益函数等于其利润额,当企业i选择价格pi,其竞争对手选择价格pj时,企业i的利润为:
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1704417928 πi(pi,pj)=qi(pi,pj)[pi-c]=[a-pi+bpj][pi-c].
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1704417932 那么,价格组合()若是纳什均衡,对每个企业i,应是以下最优化问题的解:
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1704417937 对企业i求此最优化问题的解为
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1704417943 由上可知,如果价格组合()为纳什均衡,企业选择的价格应满足
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1704417948 解这一对方程式得:
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1704417953 博弈论基础 [:1704417383]
1704417954 1.2.C 最后要价仲裁
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1704417956 许多公共部门的职工是不允许罢工的,这时,有关工资的分歧通过具有约束力的仲裁解决。(棒球联合会在主要的机制上更满足这一条件,但在经济上的重要性就差多了)很多其他争议,包括医疗事故、股票持有人对其股票经纪人的投诉等,也多通过仲裁解决。较为重要的仲裁形式有两类:协议仲裁和最后要价仲裁。在最后要价仲裁中,争议双方各自就工资水平要价,仲裁人选择其中之一作为仲裁结果;在协议仲裁中,与之不同的是,仲裁人可自由选定任意工资水平作为仲裁结果。本节我们根据法伯(1982)的研究,导出在最后要价仲裁模型处于纳什均衡时,博弈双方对工资水平的要价。[9]
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1704417961 图1.2.3
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1704417963 假定参与争议的双方一为企业,一为工会,争议由工资而起。博弈进行的时序如下。第一步,企业和工会同时开出自己希望的工资水平,分别用wf和wu表示。第二步,仲裁人在二者之中选择其一作为结果。(与许多被称为静态的博弈相似,它其实属于将在第2章讨论的动态博弈,只不过这里我们通过对仲裁者第二步行为的假定,将其简化为企业和工会之间的静态博弈)假定仲裁人本身对工资水平有自己认为合理的方案,用x来表示这一理想值,进一步假定在观测到双方要价wf和wu后,仲裁人只是简单选择距x最为接近的要价:设若Wf<wu(这与我们的直觉一致,后面将会证明它是成立的),如果x<(wf+wu)/2,仲裁者将选择wf;如果x>(wf+wu)/2则选择wu,参见图1.2.3。(至于x=(wf+wu)/2的情况出现时,选择哪一个都无关紧要,不妨设仲裁者掷硬币决定)仲裁者知道x,但参与双方都不知道,他们相信x是一个随机变量,其累积分布函数为F(x),相应的概率密度函数为f(x)[10]。根据我们对仲裁者行为的假定,如果双方的要价分别为wf和wu,那么双方推断wf被选中的概率Prob{wf被选}和wu被选中的概率Prob{wu被选}分别表示为:
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