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图1.2.1
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如图1.2.1所示，这两个最优反应函数只有一个交点，其交点就是最优产量组合（）。
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求解纳什均衡还有第三种方法，即运用重复剔除严格劣战略。在本例中，这一程序只得到惟一解——根据附录1.1.C中的命题A，一定为纳什均衡解（）。完整的过程需要无限次剔除，每一步都从两个企业剩余的战略空间内剔除一个区间，我们在这里只讨论前两步。第一步，垄断产量qm=（a-c）/2严格优于其他任何更高的产量，即对任意x＞0，πi（qm，qj）＞πi（qm+x，qj）对任意的qj≥0）都成立。证明如下：如果Q=qm+x+qj＜a，那么
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且
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并且如果Q=qm+x+qj≥a，则P（Q）=0，生产较低的产出就会提高利润。第二步，在高于qm的产量被剔除后，产量（a-c）/4严格优于任何更低的产量，即对任意在0到（a-c）/4之间的x，πi[（a-c）/4，qj]＞πi[（a-c）/4-x，qj]对任意在0到（a-c）/2之间的qj都成立，证明如下：
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且
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经过以上两步剔除，每一企业选择产量的战略空间只剩下了（a-c）/4到（a-c）/2之间的区间。重复上面的过程可以把剩余战略空间限制得越来越小。到达极限时，这一区间就成为一个点。
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重复剔除严格劣战略的方法也可以用图形来描述，这要用到我们前面的一个观察结论（附注1，同时参见1.3.A中的讨论）：当且仅当对其他参与者的战略，无法作出这样的推断，使某一战略成为最优反应战略，该战略为严格劣战略。由于本模型只有两个企业，我们可以将这一结论化为：当且仅当没有任何qj可使qi成为企业i的最优反应战略时，qi为严格劣战略。我们仍只讨论重复剔除过程的前两步。第一，对企业i而言，生产超过垄断产量qm=（a-c）/2永远不会是最优反应。我们以企业2的最优反应函数为例来证明这一点：在图1.2.1中，当q1=0时，R2（q1）等于qm，且随q1的增加而递减。即对任意的qj≥0如果企业i相信企业j将选择qj，企业i的最优反应就必然小于或等于qm；不存在这样的qj，使i的最优反应超过qm。第二，已知企业j产量的上限，我们可以导出企业i最优反应的下限：如果qj≤（a-c）/2，则有Ri（qj）≥（a-c）/4，如图1.2.2所示企业2的最优反应。[8]
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图1.2.2
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和上面相似，重复这一剔除过程就会得到单一的产量。
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为总结本节内容，我们把古诺模型稍作变动，使重复剔除严格劣战略的程序不能得到惟一解。要做到这一点，只需在上面的双头垄断模型中加入一个或更多的企业。我们将会发现讨论双头垄断时的前两步中，第一步依然成立，但是这一过程也只能中止于此了。也就是说，当企业数目多于两个时，重复剔除严格劣战略只能得到非常不精确的预测，即每个企业的产出不会超过垄断条件下的产量。（这与图1.1.4非常类似，在那里这一方法不能剔除掉任何战略。）
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为严谨起见，我们考虑3个企业的例子。令Q-i表示除i之外的企业选择的产出之和，并令πi（qi，Q-i）=qi（a-qi-Q-i-c）），且qi+Q-i＜a（因为如果qi+Q-i≥a，则πi（qi，Q-i）=-cqi），这时垄断产出qm=（a-c）/2严格优于任何更高的产量。即对任意x＞0，πi（qm，Q-i）＞πi（qm+x，Q-i）对所有Q-i≥0都成立。这和双头垄断条件下的第一步完全相同。不过，由于除i之外还有两个企业，而qj和qk都在0到（a-c）/2之间，我们对Q-i所能作的惟一界定就是在0和a-c之间。这也意味着对企业i而言，任何qi≥0都不是严格劣战略，因为对在0到（a-c）/2间的任意qi，都存在相应的在0到a-c间的Q-i（具体地说，Q-i=a-c-2qi），使qi成为企业i针对Q-i的最优反应战略。从而就无法再对其余战略空间做进一步剔除。
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博弈论基础 [:1704417382]
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1.2.B 贝特兰德的双头垄断模型
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