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在此博弈中，每一参与者的战略空间都是（正面，背面）。为理解矩阵表中所列参与者各自的收益，设想每一参与人拿有一枚硬币，并必须选择是出正面向上还是背面向上。若两枚硬币是一致的（即全部正面向上或全部背面向上），则参与人2赢走参与人1的硬币；如果两枚硬币不一致（一正一反），参与人1赢得参与人2的硬币。在此博弈中，没有一组战略能够满足（NE）的条件，因为如果参与者的战略是一致的——（正面，正面）或（背面，背面）——那么参与人1就希望能改变战略，如果参与者的战略不一致——（正面，背面）或（背面，正面）——则参与人2将希望能改变战略。
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猜硬币博弈一个非常突出的特点是每个参与者都试图能先猜中对方的战略。这一类博弈在扑克、棒球、战争等其他环境中也经常会发生。在用扑克牌赌博的博弈中，类似的问题是如何决定使诈的次数：如果大家都知道参与者i是从来不使诈的，那么任何时候当i下很高的赌注时他的对手就会认输，但这又使得i偶然使诈会有利可图；另一方面，使诈次数过多亦非上策。在棒球比赛中，假设投球手既可以掷出快球，又可掷出曲线球，那么击球手能够击中任何一类投球的前提是，他能正确估计到投球手将掷出哪一类球。与之相似，在战争中，假设进攻方可能在两个攻击点（或两条进攻路线，比如“陆路或水路”）中选择其一，防御方可以抵御来自任一方向的攻击，但也只在它正确预测到进攻路线的前提下。
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在博弈中，一旦每个参与者都竭力猜测其他参与者的战略选择，就不存在纳什均衡（至少不存在第1.1.C节所定义的纳什均衡），因为这时参与者的最优行为是不确定的，而博弈的结果必然要包含这种不确定性。现在引入混合战略的概念，我们可以将其解释为一个参与者对其他参与者行为的不确定性。（这一解释被豪尔绍尼（Harsanyi，1973）深化，在第3.2.A节中我们将进一步讨论到）在下一节我们将把纳什均衡的定义扩展到包含混合战略，从而可以分析诸如猜硬币、扑克、棒球及战争等博弈的解出现的不确定性。
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规范地表述，参与者i的一个混合战略是在其战略空间Si中（一些或全部）战略的概率分布，此后我们称Si中的战略为i的纯战略（pure strategies）。对本章所分析的完全信息同时行动博弈来说，一个参与者的纯战略就是他可以选择的不同行动，例如在猜硬币博弈中，Si内含有两个纯战略，分别为正面和背面，这时参与者i的一个混合战略为概率分布（q，1-q），其中q为出正面向上的概率，1-q为出背面向上的概率，且0≤q≤1混合战略（0，1）表示参与者的一个纯战略，即只出背面向上，类似地，混合战略（1，0）表示只出正面向上的纯战略。
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作为混合战略的第二个例子，请回顾图1.1.1所示博弈，参与者2有三个纯战略：左、中、右，这时他的一个混合战略为概率分布（q，r，1-q-r），其中q表示出左的概率，r表示出中的概率，1-q-r表示出右的概率，和前面相同，0≤q≤1，且这里还应满足0≤r≤1及0≤q+r≤l。在此博弈中，混合战略（1/3，1/3，1/3）表示参与者出左、中、右的概率相同，而（1/2，1/2，0）表示出左、中的概率相同，但绝不可能选择出右。和在所有情况下一样，参与者的一个纯战略只是混合战略的一种特例，例如参与者2只出左的纯战略可表示为混合战略（1，0，0）。
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更为一般地，假设参与者i有K个纯战略：Si={si1，…，siK}，则参与者i的一个混合战略是一个概率分布（Ρi1，…，ΡiK），其中表示对所有k=1，…，K，参与者i选择战略sik的概率，由于Ρik是一个概率，对所有k=1，…，K，有0≤Ρik≤1且Ρi1+…+ΡiK=1。我们用Ρi表示基于Si的任意一个混合战略，其中包含了选择每一个纯战略的概率，正如我们用si表示内任意一个纯战略。
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定义 对标准式博弈G={S1，…，Sn；u1，…，un}，假设Si={si1，…，siK}。那么，参与者i的一个混合战略为概率分布Ρi=（Ρi1，…，ΡiK），其中对所有k=1，…，K，0≤Ρik≤1，且Ρi1+…+ΡiK=1。
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作为本节的一个小结，我们简单地回顾一下第1.1.B节中介绍的严格劣战略，并说明混合战略对那里的论证所起的潜在作用。当时讲到，如果战略si为严格劣战略，那么参与者i不可能作出这样的推断（针对其他参与者的战略选择），他的最优反应战略会是si。如果我们引入混合战略，就可证明其逆命题：如果（针对其他参与者的战略选择）参与者i都不可能作出这样的推断，即其战略si会成为最优反应战略，则一定存在另一战略严格优于si。[13]图1.3.1和图1.3.2所示博弈说明了如果我们只讨论纯战略，这一逆命题是不成立的。
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图1.3.1
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图1.3.1显示出，一个给定的纯战略可能会严格劣于一个混合战略，即使这个纯战略并不严格劣于其他任何一个纯战略。在这一博弈中，针对参与人1对参与人2可能行动所作出的任何推断（q，1-q），1的最优反应要么是T（在q≥1/2时），要么是M（在q≤l/2时），但不会是B，虽然T或M都不严格优于B。这里的关键在于B是T和M的一个混合战略的严格劣战略：如果参与者1以1/2的概率出T，以1/2的概率出M，则其期望收益为3/2，不管2将会选择什么（纯的或混合的）战略，3/2都大于选择B时将得到的收益1。这个例子说明了在“寻找另外一个严格优于的战略”时，混合战略所起的作用。
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图1.3.2
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图1.3.2说明了一个给定的纯战略可以是针对一个混合战略的最优反应，即使这一纯战略并不是对方任何一个纯战略的最优反应。在此博弈中，对参与人2的纯战略L和R来说，参与人1的最优反应都不是B，但B却是针对参与人2的混合战略（q，1-q）9当1/3＜q＜2/3时参与人1的最优反应。这一例子说明了混合战略在“参与者i可能持有的推断”中的作用。
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博弈论基础 [:1704417387]
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1.3.B 纳什均衡的存在性
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本节讨论和纳什均衡的存在性相关的几个问题。第一，我们把第1.1.C节中纳什均衡的定义扩展到包含混合战略的情况；第二，我们应用这一扩展后的定义求解猜硬币博弈和性别战博弈的纳什均衡；第三，我们用图示的方法证明任何一个参与者有两个纯战略的两人博弈都存在纳什均衡（可能包含了混合战略）；最后，给出并讨论纳什定理（1950），它保证了在任何有限博弈（即有限个参与者，并且每个参与者可选择的纯战略有限的所有博弈）中，都存在纳什均衡（仍可能会包含混合战略）。
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回顾第1.1.C节给出的纳什均衡定义，保证了每一参与者的纯战略都是其他参与者纯战略的最优反应战略。为把这一定义扩展到包含混合战略的情况，我们只需要求每一参与者的混合战略是其他参与者混合战略的最优反应。由于任何纯战略都可表示为混合战略——只要令该参与者所有其他纯战略出现的概率等于0——扩展后的定义完全包括了前一定义。
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对参与者i来讲，参与者j的混合战略代表了他对j将选择战略的不确定性，并据此计算参与者i对j混合战略的最优反应。我们先以猜硬币博弈为例，假定参与者1推断参与者2会以q的概率出正面，以1-q的概率出背面，亦即参与者1推断参与者2将使用混合战略（q，l-q）。据此推断，参与者1出正面可得的期望收益为q（-1）+（1-q）·1=1-2q，出背面的期望收益为q·1+（1-q）（-1）=2q-1。由于当且仅当q＜l/2时，1-2q＞2q-1，则q＜1/2时，参与者1的最优纯战略为出正面；q＞l/2时为出背面；当q=1/2时，参与者1出哪一面都是无差异的。余下的就是参与者1可能的混合战略反应。
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令（r，l-r）表示参与者1的混合战略，其出正面的概率为r，对任意0到1之间的q，现在我们计算r的值，用r*（q）表示，从而使（r，1-r）为参与者2选择（q，1-q）时参与者1的最优反应，其结果可以表示为图1.3.3。当参与者2选择（q，1-q）时，参与者1选择（r，1-r）的期望收益为：
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rq·（-1）+r（l-q）·1+（1-r）q·1+（1-r）（l-q）·（-1）=（2q+1）+r（2-4q） （1.3.1）
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其中，rq是（正面，正面）的概率，r（l-q）是（正面，背面）的概率，如此等等。[14]由于参与者1的期望收益在2-4q＞0时随r递增；在2-4q＜0时随r递减，则如果q＜1/2，参与者1的最优反应为r=l（即出正面）；如果q＞1/2，参与者1的最优反应为r=0（即出背面），如图1.3.3所示r*（q）两段水平虚线。这一表述比上面非常相近的表述条件要强：那里我们只考虑纯战略，并发现如果q＜1/2，正面为最优纯战略，如果q＞1/2，背面为最优纯战略；这里我们考虑所有的纯战略和混合战略，同样发现如果q＜1/2，正面是所有战略（包含纯战略和混合战略）中的最优选择，如果q＞1/2，背面是所有战略中最优的。
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图1.3.3
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