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如果参与双方都采用这种触发战略，则无限重复博弈的每一阶段的结果都将是（ax1，…，axn），从而（期望的）收益为（x1，…，xn）。首先，我们论证如果δ足够接近于1，则参与者的这种战略是重复博弈的纳什均衡，其后再证明这样一个纳什均衡是子博弈精炼的。
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设想除参与者i之外的所有参与者都采用了这一触发战略。由于一旦某一阶段的结果不是（ax1，…，axn），其他参与者将永远选择（ae1，…，ae，i-1ae，i+1，…，aen），参与者i的最优反应为一旦某一阶段的结果偏离了（ax1，…，axn），就永远选择aei。其余就是要确定参与者i在第一阶段的最优反应，以及之前所有阶段的结果都是（axl，…，axn）时的最优反应。令adi为参与者i对（ax1，…，axn）的最优偏离，即adi为下式的解
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令di为i从此偏离中得到的收益：di=ui（ax1，…，ax，i-1，adi，ax，i+1，…，axn）（再一次我们忽略了随机数发生器的作用：最优偏离及其收益可以依赖于随机数发生器产生的纯战略）。我们有di≥xi=ui（ax1，…，ax，i-1，axi，ax，i+1，…，axn）＞ei=ui（ael，…，aen）。
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选择adi将会使当前阶段的收益为di，但却将触发其他参与人永远选择（ae1，…，ae，i-1，ae，i+1，…，aen），对比参与者i的最优选择为aei，于是未来每一阶段的收益都将是ei。这一收益序列的现值为
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（由于任何偏离都将触发其他参与者的相同反应，我们只需考虑能带来最大收益的偏离就足够了）。另一方面，选择axi将在本阶段得到收益xi，并且在下一阶段可在adi和axi之间进行完全相同的选择。令Vi表示参与者i就此作出最优选择时各阶段博弈收益的现值（目前及其后每一次面临这样选择时）。如果选择axi是最优的，则
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Vi=xi+δVi或Vi=xi/（1-δ）.
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如果选择adi是最优的，则
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此式前面已经导出（假定随机数发生器序列不相关（serially uncorrelated），则令di为参与者i偏离随机数发生器确定的不同纯战略可能得到的最高收益就足够了）。那么，当且仅当下式成立选择axi是最优的
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从而，在第一阶段，并且在之前的结果都是（ax1，…，axn）的任何阶段，当且仅当δ≥（di-xi）/（di-ei）时，参与者i的最优行动（给定其他参与者已采用了触发战略）是axi。
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给定这一结果以及一旦某一阶段的结果偏离了（axi，…，axn），则i的最优反应是永远选择aei，我们得到当且仅当下式成立时，所有参与者采用开始时描述的触发战略是纳什均衡
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由于di≥xi＞ei，对每一个i都一定有（di-xi）/（di-ei）＜1那么对所有参与者上式的最大值也一定严格小于1。
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余下的就是证明这一纳什均衡是子博弈精炼的，即触发战略必须在G（∞，δ）的每一个子博弈中构成纳什均衡。我们已讲过，G（∞，δ）的每一个子博弈都等同于G（∞，δ）本身。在触发战略纳什均衡中，这些子博弈可分为两类：（i）所有前面阶段的结果都是（ax1，…，axn）时的子博弈；和（ii）前面至少有一个阶段的结果偏离了（ax1，…，axn）时的子博弈。如果参与者在整个博弈中采用了触发战略，则（i）参与者在第一类子博弈中的战略同样也是触发战略，而我们刚刚证明它是整个博弈的纳什均衡；（ii）参与者在第二类子博弈中的战略永远是简单重复阶段博弈均衡（ae1，…，aen），它也是整个博弈的一个纳什均衡。从而，我们证明了无限重复博弈的触发战略纳什均衡是子博弈精炼的。
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博弈论基础 [:1704417408]
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2.3.C 古诺双头垄断下的共谋
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弗里德曼（1971）首先证明了在无限重复博弈中，采取触发战略，只要发生任何背离，就在以后阶段永远转到阶段博弈的纳什均衡，由此可以达成在整个博弈中的合作。最初使用的例子是古诺双头垄断时的共谋，介绍如下。
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首先回顾第1.2.A节讲过的静态古诺博弈：如果市场中的总产量为Q=q1+q2，则市场出清价格为P（Q）=a-Q，假定Q＜a。每一企业的边际成本为c，且无固定成本，两企业同时选择产量。在唯一的纳什均衡条件下，每一企业的产量为（a-c）/3，我们称之为古诺产量并用qc表示。由于均衡条件下的总产量2（a-c）/3大于垄断产量qm≡（a-c）/2，如果两企业分别生产垄断产出的一半，即qi=qm/2时，每一企业的福利都将较均衡情况下提高。
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考虑以上述古诺博弈为阶段博弈的无限重复博弈，两企业的贴现因子均为δ。下面我们计算两个企业的下述触发战略成为无限重复博弈的纳什均衡时，贴现因子δ的值：
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在第一阶段生产垄断产量的一半，qm/2。第t阶段，如果前面t-1个阶段两个企业的产量都为qm/2，则生产qm/2；否则，生产古诺产量qc。
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