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给定这一结果以及一旦某一阶段的结果偏离了（axi，…，axn），则i的最优反应是永远选择aei，我们得到当且仅当下式成立时，所有参与者采用开始时描述的触发战略是纳什均衡
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由于di≥xi＞ei，对每一个i都一定有（di-xi）/（di-ei）＜1那么对所有参与者上式的最大值也一定严格小于1。
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余下的就是证明这一纳什均衡是子博弈精炼的，即触发战略必须在G（∞，δ）的每一个子博弈中构成纳什均衡。我们已讲过，G（∞，δ）的每一个子博弈都等同于G（∞，δ）本身。在触发战略纳什均衡中，这些子博弈可分为两类：（i）所有前面阶段的结果都是（ax1，…，axn）时的子博弈；和（ii）前面至少有一个阶段的结果偏离了（ax1，…，axn）时的子博弈。如果参与者在整个博弈中采用了触发战略，则（i）参与者在第一类子博弈中的战略同样也是触发战略，而我们刚刚证明它是整个博弈的纳什均衡；（ii）参与者在第二类子博弈中的战略永远是简单重复阶段博弈均衡（ae1，…，aen），它也是整个博弈的一个纳什均衡。从而，我们证明了无限重复博弈的触发战略纳什均衡是子博弈精炼的。
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博弈论基础 [:1704417408]
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2.3.C 古诺双头垄断下的共谋
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弗里德曼（1971）首先证明了在无限重复博弈中，采取触发战略，只要发生任何背离，就在以后阶段永远转到阶段博弈的纳什均衡，由此可以达成在整个博弈中的合作。最初使用的例子是古诺双头垄断时的共谋，介绍如下。
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首先回顾第1.2.A节讲过的静态古诺博弈：如果市场中的总产量为Q=q1+q2，则市场出清价格为P（Q）=a-Q，假定Q＜a。每一企业的边际成本为c，且无固定成本，两企业同时选择产量。在唯一的纳什均衡条件下，每一企业的产量为（a-c）/3，我们称之为古诺产量并用qc表示。由于均衡条件下的总产量2（a-c）/3大于垄断产量qm≡（a-c）/2，如果两企业分别生产垄断产出的一半，即qi=qm/2时，每一企业的福利都将较均衡情况下提高。
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考虑以上述古诺博弈为阶段博弈的无限重复博弈，两企业的贴现因子均为δ。下面我们计算两个企业的下述触发战略成为无限重复博弈的纳什均衡时，贴现因子δ的值：
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在第一阶段生产垄断产量的一半，qm/2。第t阶段，如果前面t-1个阶段两个企业的产量都为qm/2，则生产qm/2；否则，生产古诺产量qc。
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由于在前一节的囚徒困境中已进行过相似的证明，这里我们只给出论证过程的要点。
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当双方都生产qm/l时，每个企业的利润为（a-c）2/8，我们用πm/2来表示。当双方都生产qc时，每个企业的利润为（a-c）2/9，我们πc用表示。最后，如果企业i将在本期生产qm/2，则使企业j本期利润最大化的产量是下式的解
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它的解为qj=3（a-c）/8，相应的利润水平为9（a-c）2/64，我们用πd表示（d表示偏离）。那么，要使两企业采取上述触发战略成为纳什均衡，必须满足
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此式和分析囚徒困境时的（2.3.1）式是相似的。将πm、πc、πd的值带入（2.3.2）可得δ≥9/17。由于与前一节相同的原因，这一纳什均衡又是子博弈精炼的。
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我们可以进一步追问如果δ≥9/17，企业的行为将如何。我们将试着运用上一节讲过的两种方法。首先来计算对任意一个给定的δ值，如果双方都采用触发战略，一旦出现背离就永远转到古诺产出，企业可以达到的利润最大化的产量。我们已经知道，这样的触发战略不能支持低到垄断产出一半的产量，但对任意δ的值，永远简单重复古诺产量却都是一个子博弈精炼纳什均衡。从而，触发战略可以支持的利润最大化产量处于qm/2和qc之间。为计算这一产量，考虑如下的触发战略：
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第一阶段生产q*、在第t阶段，如果在此之前的t-1个阶段两企业的产量都是q*，生产q*；否则，生产古诺产出qc。
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如果双方都生产q*，每个企业的利润为（a-2q*-c）q*，我们用π*表示。如果企业i计划在当期生产q*，则使企业j当期收益（利润）最大化的产量为下式的解：
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其解为qj=（a-q*-c）/2，相应的利润为（a-q*-c）2/4，我们仍用πd表示。当下式成立时，两个企业都采取上面给出的触发战略为纳什均衡
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解由此式形成的关于q*的二次方程，可得令上面给出的触发战略成为子博弈精炼纳什均衡的q*
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