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博弈论基础 [:1704417425]
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3.1.C 贝叶斯纳什均衡的定义
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本节我们定义静态贝叶斯博弈的一个均衡概念。为此，必须首先定义此类博弈中参与者的战略空间。第2.3.B和第2.4.B节已经讲过，参与者的一个战略是关于行动的一个完整计划，包括了参与者在可能会遇到的每一种情况下将选择的可行行动。在给定的静态贝叶斯博弈的时间顺序中，自然首先行动，赋予每一参与者各自的类型，参与者i的一个（纯）战略必须包括参与者i在每一可行的类型下选择的一个可行行动。
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定义 在静态贝叶斯博弈G={A1，…，An，T1，…，Tn；p1，…，pn，；u1，…un}中，参与者i的一个战略是一个函数si（ti），其中对Ti中的每一类型ti，si（ti）包含了自然赋予i的类型为ti时，i将从可行集Ai中选择的行动。
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不同于（静态及动态的）完全信息博弈，在贝叶斯博弈的标准式表述中没有给出参与者的战略空间。作为替代，在静态贝叶斯博弈中战略空间可从类型空间与行动空间中构建：参与者i的可行的（纯）战略集Si是定义域为Ti，值域为Ai的所有可能的函数集。例如一个分离战略（separating strategy），Ti中的每一类型ti都选择Ai中的不同行动ai；而在混同战略（pooling strategy）中，所有的类型都选择同一行动，分离战略和混同战略的这种区别在第4章讨论非完全信息动态博弈时十分重要，在这里提到这两个概念的区分，只是帮助说明从给定的类型空间Ti和行动空间Ai中，可以构建出多么宽泛而又差异巨大的战略。
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也许有人认为，要求参与者i的战略包含参与者i每一种可能类型下的可行行动没有必要，毕竟，一旦自然赋予某参与者一特定类型并告知他，参与者就不必再关心如果自然赋予他的是另外一种类型他将如何行动了。但另一方面，参与者i还需要考虑另外的参与者将如何行动，而且另外参与者的行动又决定于他们对参与者i为Ti中每一类型ti时，i的行动的推断。从而，在被赋予某种类型之后要决定如何行动，参与者i仍必须考虑如果他被赋予Ti中另外每一ti时应该如何行动。
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作为例子，考虑第3.1.A节中的非对称信息古诺博弈，我们已经说明博弈的解由三个产量选择组成：及。用刚刚给出的关于战略的定义，就是企业2的战略，是企业1的战略，很容易想到企业2根据自己的成本情况会选择不同的产量，但是还应注意到的同样重要的一点，是企业1在选择单一的产出时也应同样考虑企业2将根据不同的成本选择不同的产量。从而，如果我们的均衡概念要求企业1的战略是企业2战略的最优反应，则2的战略必须是一对产量，分别对应于两种可能的成本类型，否则企业1就无法计算它的战略是否确实是企业2战略的最优反应。
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更为一般地讲，如果我们允许一个参与者的战略不包括自然赋予他其他类型时该参与者将选择的行动，我们就无法把纳什均衡的概念运用到贝叶斯博弈。这一结论和第2章的一个结论是一致的：在完全信息动态博弈中，看似没有必要要求参与者i的战略包含参与者i在可能会遇到的所有情况下的行动选择，但如果我们允许参与者的一个战略不包含某些可能遇到的情况下的行动选择，我们就无法把纳什均衡的概念运用于完全信息动态博弈。
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给出贝叶斯博弈中关于战略的定义之后，我们就可以定义贝叶斯纳什均衡了。尽管定义中的符号十分复杂，但中心思路却既简单又熟悉：每一参与者的战略必须是其他参与者战略的最优反应，亦即贝叶斯纳什均衡实际上就是在贝叶斯博弈中的纳什均衡。
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定义 在静态贝叶斯博弈G={A1，…，An；T1，…，Tn；p1，…，pn；u1，…un}中，战略组合是一个纯战略贝叶斯纳什均衡，如果对每一参与者i及对i的类型集Ti中的每一ti，s1*（ti）满足
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亦即，没有参与者愿意改变自己的战略，即使这种改变只涉及一种类型下的一个行动。
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一个有限的静态贝叶斯博弈（即博弈中n是有限的，并且（A1，…，An）和（T1，…，Tn）都是有限集）存在贝叶斯纳什均衡，也许包含了混合战略，它的证明十分容易。证明过程与完全信息下有限博弈中混合战略纳什均衡存在性的证明基本一致，本书略去。
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博弈论基础 [:1704417426]
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博弈论基础 3.2 应用举例
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博弈论基础 [:1704417427]
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3.2.A 再谈混合战略
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我们在第1.3.A节已提到，豪尔绍尼（1973）提出参与者j的混合战略代表了参与者i对j所选择的纯战略的不确定性，而j的选择又依赖于他所掌握的一小点儿私人信息。现在，我们可以给出这种观点的精确表述：完全信息博弈的混合战略纳什均衡（几乎总是）可以解释为与之密切相关、存在一小点非完全信息的博弈中的纯战略贝叶斯纳什均衡（我们忽略不能够由此解释的极为罕见的情况）。用更容易理解的话讲，混合战略纳什均衡的重要特征，不是参与者j随机地选择一个战略，而是参与者i不能确定j的选择，这种不确定性既可产生于随机因素，又可能（更为合理地）因为一小点儿私人信息，如下面的例子。
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回顾第1章所讲的性别战博弈，存在两个纯战略纳什均衡（歌剧，歌剧）和（拳击，拳击）及一个混合战略纳什均衡，其中克里斯以2/3的概率选择歌剧，帕特以2/3的概率选择拳击。
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性别战
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现在假设尽管两人已经认识了相当一段时间，但克里斯和帕特仍不能确定对方收益函数的情况。具体地说，假定如果双方都选择歌剧克里斯的收益为2+tc，其中tc的值是克里斯的私人信息，双方都去观看拳击时帕特的收益为2+tp，其中tp的值为帕特的私人信息；tc和tp相互独立，并服从[0，x]区间上的均匀分布（至于选择[0，x]区间的均匀分布并不重要，只要记住tc和tp的值是指原博弈收益的随机扰动项，我们可以认为x是一个很小的正数）。所有其他情况下的收益不变。表述为标准式则为：静态贝叶斯博弈G={Ac，Ap，Tc，Tp，pc，pp，uc，up}中，行动空间为Ac=Ap={歌剧，拳击}，类型空间为TC=TP=[0，x]，关于类型的推断为对所有的tc和tp，Pc（tp）=pp（tc）=l/x收益情况如下图。