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从而，当且仅当
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时，选择拳击是最优的。
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解（3.2.1）和（3.2.2）构成的方程组可得p=c及p2+3p-x=0。解此二次方程，可得到克里斯选择歌剧的概率，即（x-c）/x，以及帕特选择拳击的概率，即（x-p）/x，都等于
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当x趋于0时，该式的值趋于2/3。也就是说，随非完全信息的消失，参与者在此非完全信息博弈纯战略贝叶斯纳什均衡下的行动趋于其在原完全信息博弈混合战略纳什均衡下的行动。
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博弈论基础 [:1704417428]
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3.2.B 拍卖一种
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考虑如下的价格优先密封拍卖（first-price，sealed-bid auction）。有两个投标人（bidder），分别为1、2，投标人i对商品的估价为vi——即如果投标人i付出价格p得到商品，则i的收益为vi-p。两个投标人的估价相互独立，并服从[0，1]区间上的均匀分布。投标价格不能为负，且双方同时给出各自的投标价。出价较高的一方得到商品，并支付他报的价格；另一方的收益和支付都为0。在投标价相等的情况下，胜利方由掷硬币决定。投标方是风险中性的，所有以上都是共同信息。
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为把这一问题化为标准式的静态贝叶斯博弈，我们必须确定行动空间、类型空间、推断及收益函数。参与者i的行动是给出一个（非负的）投标价其类型即他的估价vi（在抽象博弈G={A1，A2；T1，T2；p1，p2；u1，u2}中表示为，行动空间Ai=[0，∞），类型空间Ti=[0，1]）。由于估价是相互独立的，参与者i推断vj服从[0，1]区间上的均匀分布，而不依赖于vi的值。最后，参与者i的收益函数为
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为推导这一博弈的贝叶斯纳什均衡，我们首先建立参与者的战略空间。前面已讲过，在静态贝叶斯博弈中，一个战略是由类型到行动的函数。从而，参与者i的一个战略为函数bi（vi），据此可以决定i在每一种类型（即对商品的估价）下选择的投标价格。在贝叶斯纳什均衡下，参与者1的战略b1（v1）为参与者2的战略b2（v2）的最优反应，反之亦然。正式地，战略组合（b（v1），b（v2））是贝叶斯纳什均衡，如果对[0，1]中的每一vi，bi（vi）满足
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我们假设该问题的一组线性均衡解b1（v1）=a1+c1v1及b2（v2）=a2+c2v2，并据此对上式进行简化。但应注意我们不是限制了参与者的战略空间，使之只包含了线性战略；而是允许参与者任意地选择战略，而只看是否存在线性的均衡解。我们会发现由于参与者的估价是均匀分布的，这样的线性均衡解不仅存在，而且是惟一的（为精确起见）。其结果为bi（vi）=vi/2，也就是说，每一参与者以其对商品估价的1/2作为投标价。这样，一个投标价格反映出投标方在拍卖中遇到的最基本的得失权衡：投标价格越高，中标的可能性越大；投标价格越低，一旦中标所得的收益就越大。
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假设参与者j采取战略）bj（vj）=aj-cjvj对一个给定的vi值，参与者i的最优反应为下式的解
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其中我们用到bi=bj（vj）的概率为0这一事实（Prob{bi=bj}=0，因为bj（vj）=aj+cjvj，且vj服从均匀分布，所以bj也服从均匀分布）。由于i的投标价低于参与者j最低的可能投标价格没有意义，而高于j最高的可能投标价格又显然很愚蠢，我们有aj≤bj≤aj+cj，于是
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从而参与者i的最优反应为
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如果0＜aj＜l，则一定存在某些vi的值，使vj＜aj，这时就不可能是线性的了，而在开始时呈平直，后半段开始倾斜。由于我们要寻找线性的均衡，就可以排除0＜aj＜1，而只讨论aj≥1及aj≤0的情况。但前一种情况是不可能在均衡中出现的，因为估价较高一方对投标价的最优选择是不低于估价较低一方的投标价，我们有cj≥0，但这时aj≥1便意味着bj（vj）≥vj，而这肯定不会是最优的。因此，如果要求bi（vi）是线性的，则一定有aj≤0，这种情况下bi（vi）=（vi+aj）/2，于是可得ai=aj/2及ci=1/2。
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我们可以假定参与者i采取战略bi（vi）=ai+civi，对参与者j重复上面的分析，得到类似的结果ai≤0，aj=aj/2以及cj=1/2。解这两组结果构成的方程组，可得ai=aj=0和ci=cj=1/2。亦即前面所讲的bi（vi）=vi/2。