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考虑如下的价格优先密封拍卖（first-price，sealed-bid auction）。有两个投标人（bidder），分别为1、2，投标人i对商品的估价为vi——即如果投标人i付出价格p得到商品，则i的收益为vi-p。两个投标人的估价相互独立，并服从[0，1]区间上的均匀分布。投标价格不能为负，且双方同时给出各自的投标价。出价较高的一方得到商品，并支付他报的价格；另一方的收益和支付都为0。在投标价相等的情况下，胜利方由掷硬币决定。投标方是风险中性的，所有以上都是共同信息。
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为把这一问题化为标准式的静态贝叶斯博弈，我们必须确定行动空间、类型空间、推断及收益函数。参与者i的行动是给出一个（非负的）投标价其类型即他的估价vi（在抽象博弈G={A1，A2；T1，T2；p1，p2；u1，u2}中表示为，行动空间Ai=[0，∞），类型空间Ti=[0，1]）。由于估价是相互独立的，参与者i推断vj服从[0，1]区间上的均匀分布，而不依赖于vi的值。最后，参与者i的收益函数为
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为推导这一博弈的贝叶斯纳什均衡，我们首先建立参与者的战略空间。前面已讲过，在静态贝叶斯博弈中，一个战略是由类型到行动的函数。从而，参与者i的一个战略为函数bi（vi），据此可以决定i在每一种类型（即对商品的估价）下选择的投标价格。在贝叶斯纳什均衡下，参与者1的战略b1（v1）为参与者2的战略b2（v2）的最优反应，反之亦然。正式地，战略组合（b（v1），b（v2））是贝叶斯纳什均衡，如果对[0，1]中的每一vi，bi（vi）满足
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我们假设该问题的一组线性均衡解b1（v1）=a1+c1v1及b2（v2）=a2+c2v2，并据此对上式进行简化。但应注意我们不是限制了参与者的战略空间，使之只包含了线性战略；而是允许参与者任意地选择战略，而只看是否存在线性的均衡解。我们会发现由于参与者的估价是均匀分布的，这样的线性均衡解不仅存在，而且是惟一的（为精确起见）。其结果为bi（vi）=vi/2，也就是说，每一参与者以其对商品估价的1/2作为投标价。这样，一个投标价格反映出投标方在拍卖中遇到的最基本的得失权衡：投标价格越高，中标的可能性越大；投标价格越低，一旦中标所得的收益就越大。
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假设参与者j采取战略）bj（vj）=aj-cjvj对一个给定的vi值，参与者i的最优反应为下式的解
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其中我们用到bi=bj（vj）的概率为0这一事实（Prob{bi=bj}=0，因为bj（vj）=aj+cjvj，且vj服从均匀分布，所以bj也服从均匀分布）。由于i的投标价低于参与者j最低的可能投标价格没有意义，而高于j最高的可能投标价格又显然很愚蠢，我们有aj≤bj≤aj+cj，于是
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从而参与者i的最优反应为
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如果0＜aj＜l，则一定存在某些vi的值，使vj＜aj，这时就不可能是线性的了，而在开始时呈平直，后半段开始倾斜。由于我们要寻找线性的均衡，就可以排除0＜aj＜1，而只讨论aj≥1及aj≤0的情况。但前一种情况是不可能在均衡中出现的，因为估价较高一方对投标价的最优选择是不低于估价较低一方的投标价，我们有cj≥0，但这时aj≥1便意味着bj（vj）≥vj，而这肯定不会是最优的。因此，如果要求bi（vi）是线性的，则一定有aj≤0，这种情况下bi（vi）=（vi+aj）/2，于是可得ai=aj/2及ci=1/2。
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我们可以假定参与者i采取战略bi（vi）=ai+civi，对参与者j重复上面的分析，得到类似的结果ai≤0，aj=aj/2以及cj=1/2。解这两组结果构成的方程组，可得ai=aj=0和ci=cj=1/2。亦即前面所讲的bi（vi）=vi/2。
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也许有人会关心在此博弈中是否还存在另外的贝叶斯纳什均衡，以及如果投标方估价的概率分布发生变化，均衡的投标价格将如何变化，这两个问题都不能应用前面的方法（即先假定一个线性战略，再推导出使战略符合均衡条件的系数）得到解答：试图猜测这一博弈其他均衡中的函数形式是徒劳的，并且当估价服从任何其他分布时，线性均衡也不存在。在本节的附录中，我们推导一种对称的贝叶斯纳什均衡，[3]但仍然是在估价服从均匀分布的条件下。在参与者战略严格递增及可微的假定下，我们证明惟一的对称贝叶斯纳什均衡就是本节推导出的线性均衡。我们所运用的技术方法可十分容易地扩展到较广类型的估价分布，以及两个以上投标者的情况。[4]
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附录3.2.B
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假设参与者j采取战略b（·），同时假定b（·）严格递增并可微。则对一个给定的值vi，参与者i的最优投标价格应满足
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令b-1（bj）表示参与者j在选择投标价格bj时一定持有的估价，即如果bj则b-1（bj）=vj。由于vj服从区间[0，1]上的均匀分布，bi＞b（vj）的概率等于b-1（bi）＞vj的概率，后者又等于b-1（bi）＞vj（Prob{bi＞b（vj）}=Prob{b-1（bi）＞vj}=b-1（bi））从而参与者i最优化问题的一阶条件为
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上面的一阶条件在给定投标方i的估价vi时，是关于投标方i对投标方j的战略b（·）最优反应的隐函数。如果要使b（·）成为对称的贝叶斯纳什均衡，我们要求一阶条件的解应该等于b（vi）：也就是说，对参与者i每一可能的估价，投标方i都不希望背离战略b（·），只要投标方j也选择同一战略。为加入这一要求，我们用bi=b（vi）代入一阶条件，得
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