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假设参与者j采取战略）bj（vj）=aj-cjvj对一个给定的vi值，参与者i的最优反应为下式的解
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其中我们用到bi=bj（vj）的概率为0这一事实（Prob{bi=bj}=0，因为bj（vj）=aj+cjvj，且vj服从均匀分布，所以bj也服从均匀分布）。由于i的投标价低于参与者j最低的可能投标价格没有意义，而高于j最高的可能投标价格又显然很愚蠢，我们有aj≤bj≤aj+cj，于是
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从而参与者i的最优反应为
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如果0＜aj＜l，则一定存在某些vi的值，使vj＜aj，这时就不可能是线性的了，而在开始时呈平直，后半段开始倾斜。由于我们要寻找线性的均衡，就可以排除0＜aj＜1，而只讨论aj≥1及aj≤0的情况。但前一种情况是不可能在均衡中出现的，因为估价较高一方对投标价的最优选择是不低于估价较低一方的投标价，我们有cj≥0，但这时aj≥1便意味着bj（vj）≥vj，而这肯定不会是最优的。因此，如果要求bi（vi）是线性的，则一定有aj≤0，这种情况下bi（vi）=（vi+aj）/2，于是可得ai=aj/2及ci=1/2。
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我们可以假定参与者i采取战略bi（vi）=ai+civi，对参与者j重复上面的分析，得到类似的结果ai≤0，aj=aj/2以及cj=1/2。解这两组结果构成的方程组，可得ai=aj=0和ci=cj=1/2。亦即前面所讲的bi（vi）=vi/2。
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也许有人会关心在此博弈中是否还存在另外的贝叶斯纳什均衡，以及如果投标方估价的概率分布发生变化，均衡的投标价格将如何变化，这两个问题都不能应用前面的方法（即先假定一个线性战略，再推导出使战略符合均衡条件的系数）得到解答：试图猜测这一博弈其他均衡中的函数形式是徒劳的，并且当估价服从任何其他分布时，线性均衡也不存在。在本节的附录中，我们推导一种对称的贝叶斯纳什均衡，[3]但仍然是在估价服从均匀分布的条件下。在参与者战略严格递增及可微的假定下，我们证明惟一的对称贝叶斯纳什均衡就是本节推导出的线性均衡。我们所运用的技术方法可十分容易地扩展到较广类型的估价分布，以及两个以上投标者的情况。[4]
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附录3.2.B
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假设参与者j采取战略b（·），同时假定b（·）严格递增并可微。则对一个给定的值vi，参与者i的最优投标价格应满足
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令b-1（bj）表示参与者j在选择投标价格bj时一定持有的估价，即如果bj则b-1（bj）=vj。由于vj服从区间[0，1]上的均匀分布，bi＞b（vj）的概率等于b-1（bi）＞vj的概率，后者又等于b-1（bi）＞vj（Prob{bi＞b（vj）}=Prob{b-1（bi）＞vj}=b-1（bi））从而参与者i最优化问题的一阶条件为
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上面的一阶条件在给定投标方i的估价vi时，是关于投标方i对投标方j的战略b（·）最优反应的隐函数。如果要使b（·）成为对称的贝叶斯纳什均衡，我们要求一阶条件的解应该等于b（vi）：也就是说，对参与者i每一可能的估价，投标方i都不希望背离战略b（·），只要投标方j也选择同一战略。为加入这一要求，我们用bi=b（vi）代入一阶条件，得
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当然，b-1（b（vi））就是vi，而且d{b-1（b（vi））}/dbi=1/b’（vi），也就是说衡量为使投标价格发生单位变动，投标方i的估价必须发生多大变化，而l/b’（vi）则衡量如果估价发生单位变化，其投标价格将随之发生多大变动。从而，b（·）必须满足一阶微分方程
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可以将其简化表示为b’（vi）vi+b（vi）=vi，微分方程等式的左边恰好等于d{b（vi）vi}/dvi，对左右两方同时积分得
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其中k为积分常数。为消除k，我们需要一个边界条件。幸运的是，很简单的经济学理性就提供了一个：没有参与者愿意出高于自己估价的投标价格。从而，我们要求对所有的vi，都有b（vi）≤vi。其一个特例是当vi=0时，我们要求b（0）≤0。由于投标价格被限制为非负，这意味着b（0）=0，于是k=0，并且b（vi）=vi/2，即前面的结论。
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