1704419902
1704419903
1704419904
1704419905
1704419906
从而，当且仅当
1704419907
1704419908
1704419909
1704419910
1704419911
时选择歌剧是最优的。相似地，给定克里斯的战略，帕特选择拳击和选择歌剧的期望收益分别为
1704419912
1704419913
1704419914
1704419915
1704419916
与
1704419917
1704419918
1704419919
1704419920
1704419921
从而，当且仅当
1704419922
1704419923
1704419924
1704419925
1704419926
时，选择拳击是最优的。
1704419927
1704419928
解（3.2.1）和（3.2.2）构成的方程组可得p=c及p2+3p-x=0。解此二次方程，可得到克里斯选择歌剧的概率，即（x-c）/x，以及帕特选择拳击的概率，即（x-p）/x，都等于
1704419929
1704419930
1704419931
1704419932
1704419933
当x趋于0时，该式的值趋于2/3。也就是说，随非完全信息的消失，参与者在此非完全信息博弈纯战略贝叶斯纳什均衡下的行动趋于其在原完全信息博弈混合战略纳什均衡下的行动。
1704419934
1704419935
博弈论基础 [:1704417428]
1704419936
3.2.B 拍卖一种
1704419937
1704419938
考虑如下的价格优先密封拍卖（first-price，sealed-bid auction）。有两个投标人（bidder），分别为1、2，投标人i对商品的估价为vi——即如果投标人i付出价格p得到商品，则i的收益为vi-p。两个投标人的估价相互独立，并服从[0，1]区间上的均匀分布。投标价格不能为负，且双方同时给出各自的投标价。出价较高的一方得到商品，并支付他报的价格；另一方的收益和支付都为0。在投标价相等的情况下，胜利方由掷硬币决定。投标方是风险中性的，所有以上都是共同信息。
1704419939
1704419940
为把这一问题化为标准式的静态贝叶斯博弈，我们必须确定行动空间、类型空间、推断及收益函数。参与者i的行动是给出一个（非负的）投标价其类型即他的估价vi（在抽象博弈G={A1，A2；T1，T2；p1，p2；u1，u2}中表示为，行动空间Ai=[0，∞），类型空间Ti=[0，1]）。由于估价是相互独立的，参与者i推断vj服从[0，1]区间上的均匀分布，而不依赖于vi的值。最后，参与者i的收益函数为
1704419941
1704419942
1704419943
1704419944
1704419945
为推导这一博弈的贝叶斯纳什均衡，我们首先建立参与者的战略空间。前面已讲过，在静态贝叶斯博弈中，一个战略是由类型到行动的函数。从而，参与者i的一个战略为函数bi（vi），据此可以决定i在每一种类型（即对商品的估价）下选择的投标价格。在贝叶斯纳什均衡下，参与者1的战略b1（v1）为参与者2的战略b2（v2）的最优反应，反之亦然。正式地，战略组合（b（v1），b（v2））是贝叶斯纳什均衡，如果对[0，1]中的每一vi，bi（vi）满足
1704419946
1704419947
1704419948
1704419949
1704419950
我们假设该问题的一组线性均衡解b1（v1）=a1+c1v1及b2（v2）=a2+c2v2，并据此对上式进行简化。但应注意我们不是限制了参与者的战略空间，使之只包含了线性战略；而是允许参与者任意地选择战略，而只看是否存在线性的均衡解。我们会发现由于参与者的估价是均匀分布的，这样的线性均衡解不仅存在，而且是惟一的（为精确起见）。其结果为bi（vi）=vi/2，也就是说，每一参与者以其对商品估价的1/2作为投标价。这样，一个投标价格反映出投标方在拍卖中遇到的最基本的得失权衡：投标价格越高，中标的可能性越大；投标价格越低，一旦中标所得的收益就越大。
1704419951