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a+b+[T-（t+s+2）-1]+p+（l-p）b+pa
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同样小于（4.3.5）。
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博弈论基础 [:1704417447]
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博弈论基础 4.4 精炼贝叶斯均衡的再精炼
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在第4.1节我们定义了精炼贝叶斯均衡为满足要求1到4的战略和推断，并已知在这样的均衡中，没有参与者的战略包含始于任何信息集的严格劣战略。现在，我们考虑两个更进一步的要求（关于处于均衡路径之外的推断）。第一条的形成出自以下想法：由于精炼贝叶斯均衡排除了参与者i选择的战略包含始于任何信息集的严格劣战略的可能性，要令参与者j相信参与者i将选择这样的战略就是不合理的。
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为对这一思想的理解更为精确，考虑图4.4.1中的博弈，其中有两个纯战略精炼贝叶斯均衡：（L，L’，p=1）和（R，R’，p≤l/2）。[9]这一例子关键的特征在于M为参与者1的一个严格劣战略：选择R可得的收益2超出了参与者1选择M可能得到的所有收益——0和1。那么，要令参与者2相信1可能选择了M是不合理的；正式地，1-p不可能为正，于是p一定等于1。如果推断1-p＞0不合理，则（R，R’，p≤1/2）也不再是精炼贝叶斯均衡，只有（L，L’p=1）成为满足这一要求的惟一的精炼贝叶斯均衡。
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图4.4.1
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这一例子的另外两个特征也值得简要提及。第一，尽管M是严格劣战略，L却不是。如果L也是严格劣战略（比如说1的收益3换成3/2时的情况），则同样的论证意味着p不可能为正，但这又与前面的结果p一定等于1相矛盾。在这样的情况下，这一要求不限制参与者2均衡路径之外的推断；见下文的正式定义。
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第二，这一例子并不是对开始时描述的要求的精确说明，因为M并非只从一个信息集开始成为严格劣战略，而是其本身就是一个严格劣战略。为理解其中的区别，回顾第1.1.B节对严格劣战略的定义：如果存在另外一个战略使对其他参与者每一可能的战略组合，i选择si的收益都严格大于选择s’i的收益，则s’i为i的一个严格劣战略。现在，考虑图4.4.1中博弈的一种扩展情况，其中参与者2在图中1的行动之前有一次行动，并在这最初行动中有两个选择，一个使博弈结束，另一个轮到1在图中1的信息集选择行动。在这一扩展的博弈中，M仍从1的信息集开始成为一个严格劣战略，但M不再是整个博弈的严格劣战略，因为如果2在初始节选择的行动使博弈结束，则L，M和R全都只能得到相同的收益。
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由于在图4.4.1中M为严格劣战略，令参与者2推断1可能已经选择了M当然是不合理的。但严格劣战略这一条件过强，并由此得到的要求又太弱。（因为从一个信息集开始成为严格劣战略的战略要多于整个博弈的严格劣战略，要求j不相信i会选择前一种战略对j推断的限制，要强于要求j不相信i会选择后一种战略对其推断的限制。）在下面，我们仍使用开始时给出的要求：参与者j不相信参与者i会选择从任何信息集成为严格劣战略的战略。下面我们给出这一要求的正式表述。
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定义 考虑轮到参与者i行动的一个信息集。战略s’i为始于 这一信息集的严格劣战略 （strictly dominated beginning at this information set），如果存在另一个战略si使得对i在给定信息集可能持有的每一推断，并且对每一其他参与者后续战略可能的组合（这里的“ 后续战略 ”（subsequent strategy），是一个包含了在达到给定信息集之后可能会发生的所有情况的完整的行动计划），i在给定信息集根据si选择行动并在其后根据选择后续战略得到的收益严格大于根据s’i选择行动和后续战略得到的收益。
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要求5： 在可能的情况下，在每一参与者均衡路径之外的推断中，如果一个节点只有在另一参与者选择始于某些信息集的严格劣战略时，才能够到达，则应认定到达这一节点的概率为0。
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要求5中的限定语“在可能的情况下”，是考虑到类似图4.4.1中参与者1的收益3换成3/2的情况，这时M和L都劣于R。在这种情况下，要求1要求参与者2持有一个推断，但又不可能在推断中令到达M和L之下的节点的概率都为0，于是要求5不再适用。
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作为对要求5的第二个说明，考虑图4.4.2的信号博弈。与第4.2.A节相同，发送者战略（m’，m”）表示类型t1选择信号m’，且类型t2选择信号m”；接收者战略（a’，a”）表示接收者在L之后选择行动a’，在R之后选择行动a”。我们可以很容易地检验对q≥1/2，战略和推断[（L，L），（u，d），p=0.5，q]构成博弈的一个混同精炼贝叶斯均衡。不过，这一信号博弈的关键特征，是令t1选择R没有任何意义。正式地，发送者战略（R，L）和（R，R）——亦即t1选择R的所有战略——为始于发送者对应于类型t1的信息集的严格劣战略。[10]那么，只有在发送者选择了始于一个信息集的严格劣战略时，才可能到达R之后接收者的信息集中节点t2。而且，存在另外一个始于任何信息集的非劣战略——即（L，R），可以在R之后接收者的信息集中到达节点t2。从而要求5限定q=0。因为只有在q≥1/2时，[（L，L），（u，d），p=0.5，q]为博弈的精炼贝叶斯均衡，此均衡不能满足要求5。
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图4.4.2
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可以针对第4.2.A节定义的信号博弈精炼贝叶斯均衡，将要求5重新表述如下。
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定义 在信号博弈中，M中的信号mj称为T中类型tj的 劣信号 （dominated for type ti），如果存在另外一个信号mj，使得ti选择mj的最低可能收益大于ti选择mj的最高可能收益：
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信号要求5 如果mj之后的信息集处于均衡路径之外，且mj为类型ti的劣信号，则（在可能的情况下）接收者的推断μ（ti|mj）中，认为发送者的类型为ti的概率应该等于0（只要mj不对T中所有的类型都是劣信号，即为适用这一要求的可能情况）。
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在图4.4.2的博弈中，分离精炼贝叶斯均衡[（L，R），（u，u），p=1，q=0]则自然满足信号要求5（因为不存在这一均衡路径之外的信息集）。作为一个需经检验才可确定满足信号要求5的例子，假设当类型t2选择R时，接收者的收益为：选择d的收益为1，选择u的收益为0，而不再是图中的0和1。这时，[（L，L），（u，d），p=0.5，q]对任意的q值都是一个混同精炼贝叶斯均衡，于是[（L，L），（u，d），p=0.5，q=0]就是一个满足信号要求5的混同精炼贝叶斯均衡。
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