1704421721
那么，是否存在一个概率值P能够使得I成为一个ESS呢？为了回答这个问题，我们需要应用Bishop和Canning（1978）得出的一个定理，定理如下所述：
1704421722
1704421723
如果I是一个混合演化稳定策略（Mixed ESS），其对构成它的纯策略A、B、C……赋予非零的概率值，那么I必须满足：
1704421724
1704421725
E（A，I）＝E（B，I）＝E（C，I）＝…＝E（I，I）。
1704421726
1704421727
直觉上，我们可以这样去理解上述定理，如果E（A，I）＞E（B，I），那么博弈者为了获得更高的回报必然会更多地采取A策略而较少地采取B策略。这样的话，I将不会成为ESS。因此，如果I是ESS，实施那些构成I的纯策略所获得的期望回报必然是相等的。关于该定理的更准确的表述和严格证明将在附录三中给出。该定理的重要性在于它提供了一个寻找ESS的方法，即如果确有一个概率值P使得I成为一个鹰鸽博弈的ESS，我们就可以通过解下列方程来得到它：
1704421728
1704421729
E（H，I）＝E（D，I）
1704421730
1704421731
1704421732
即
1704421733
1704421734
1704421735
于是有
1704421736
1704421737
1704421738
解得：
1704421739
1704421740
更一般地，对支付矩阵：
1704421741
1704421742
1704421743
1704421744
1704421745
如果满足a＜c且d＜b，则存在一个混合ESS，这个混合策略将以概率P采取策略I：
1704421746
1704421747
1704421748
1704421749
1704421750
如果一个ESS具有以下形式：I＝PH＋（1－P）D，那么P就能够被（2.6）式所确定。但是，我仍然需要证明这样的混合策略I满足（2.4b）式。由于E（H，I）＝E（D，I）＝E（I，I），而且稳定性条件要求满足：E（I，D）＞E（D，D）且E（I，H）＞E（H，H），为了验证这一点，我们有：
1704421751
1704421752
1704421753
1704421754
1704421755
1704421756
以及
1704421757
1704421758
这样我们就已经展示了当V＜C时，以概率P＝V/C的混合策略是演化稳定的。从这个模型中得到的第一个结论就是：在受伤的代价相对高于获胜取得的回报的竞争中，混合策略的出现应该在我们意料之中。当然这一模型是如此的过于简化以至于我们在对待其结论时应该有所保留。在从理论上分析了可能出现的复杂情形之后，我们将在第六章和第七章中讨论有关这一模型的野外资料和数据。
1704421759
1704421760
一个混合ESS状态能否达到，取决于一个关键假设，那就是存在一种这样的基因型，它能够详细记载这一混合策略并在繁殖后代中能够得到真实遗传（breed true）。现在回到前面的问题：对于由纯鹰策略者和纯鸽策略者构成的总体将会产生怎样的情况？我们已经看到，如果V＜C，就不存在演化稳定的纯策略，但是却有可能存在一个稳定的遗传多态，也就是说，可能存在一种只生育鹰策略者的个体和只生育鸽策略的个体的混合，这种混合在遗传上是稳定的。
1704421761
1704421762
考虑这样一个总体，它分别由p比例的H策略者和1－p比例的D策略者所构成，在均衡状态下，适应度W（H）和W（D）必然相等，那就是：
1704421763
1704421764
1704421765
1704421766
1704421767
方程（2.8）和方程（2.5）是等价的，这里只是用小写p代替了大写P，这样，如果P是在混合ESS中采取H策略的频率，而p代表了在种群中遗传稳定状态下H策略者所占的比重，那么p＝P。这一个结论在存在两个以上的纯策略的情形下依然是成立的，但这是遗传多态稳定吗？当只存在两个纯策略时，如果混合策略是稳定的，那么对应的遗传多态也是稳定的。于是，对于鹰鸽博弈，以p＝V/C为纯鹰策略者比重的遗传多态是稳定的。
1704421768
1704421769
不幸的是，如果在具有多于两个纯策略的情形下，这一简单的结论不再成立，很可能对一个混合ESS是稳定的，而对于其对应的遗传多态则是不稳定的，反之亦然。稳定性问题将在附录四中进行更深入的讨论。如果仅仅是因为无性生殖种群的遗传多态稳定性问题不同于有性生殖两倍染色体种群的相应问题，那么这主要是出于数学上的考虑（见第四章，第一部分）。
1704421770