1704422206
分别用p′和P′表示＋/m的雄性和雌性的频率，那么在下一代中，我们有：
1704422207
1704422208
1704422209
1704422210
1704422211
将上述方程相加得到：
1704422212
1704422213
1704422214
1704422215
其中
1704422216
1704422217
注意到当a＝a*且b＝b*时，R＝0。那就是说，如果基因突变不改变基因型，p＋P的值是不会改变的，这一点仅仅是使我们坚信在推导公式（4.4a，b）中没有错误产生。
1704422218
1704422219
我们寻找这样的a*和b*使得对任何不同于a*b*的基因突变ab都有R＜0。如果我们找到了这样的一个a*b*，这将是不可侵犯的。
1704422220
1704422221
令a/a*＋b/b*φ（a），且令f（a）为表现型集合的边界。那么，如果我们考虑处于集合边界上的一系列点的话，稳定性要求当a＝a*且b＝b*时，φ达到最大。因为如果对于任意的a有φ（a）＞φ（a*），那么一个ab的突变异种就可以侵害一个a*b*的总体。因此，稳定性条件如下所述：
1704422222
1704422223
1704422224
1704422225
1704422226
1704422227
且
1704422228
1704422229
考虑（4.6a）我们可以得到：b*＋a*f′（a）＝0，这个式子在边界上的一点处成立，在这一点乘积a×b达到最大，如图6所示。与MacArthur（1965）所得到的结果相比，这是一个更为正规的推导。
1704422230
1704422231
注意到方程（4.6a）仅仅保证了驻点的静止性，而不是稳定性。对于稳定性，条件（4.6b）给出：
1704422232
1704422233
1704422234
1704422235
1704422236
这表明，表现型集合必须是凸的。严格地说，这一条件仅仅要求表性集合在靠近a*b*处具有局部凸性，且仅仅保证了能抗拒具有较小表现型效应的突变异种侵害的稳定性。全局稳定性问题可以通过绘图的方法进行很好的分析。
1704422237
1704422238
1704422239
1704422240
在图6中，最上边的两幅图分别表示了表现型集合为凸（左图）和凹（右图）的两种情形，并且分别在图中显示了使得a×b达到最大的驻点a*b*，以及在边界上另一个可供选择的点ab。在图6的中间的两幅图中，函数φ（a）以a为自变量绘制成图。对于凸的表现型集，当a＝a*时，φ（a）达到最大，没有一个满足0＜a＜A的a值，能够产生一个比φ（a*）更大的φ（a）。这意味着处于a*b*的种群将不能被任何突变异种所侵害。而对于凹的表现型集，当a＝a*时，φ（a）达到最小。一个处于a*b*的种群将被边界上的任何突变异种所侵害。具体而言，这样的种群将被只生产一种性别的子代的雌性个体所侵害，这些子代要么都是雄性，要么都是雌性。对于凹的表现型集合，很容易看到处于稳定状态的种群是由等量的雄性子代生产者（A，0）以及雌性子代生产者（0，B）所构成的。
1704422241
1704422242
1704422243
1704422244
1704422245
1704422246
1704422247
1704422248
1704422249
1704422250
为了完成对凸表现型集和凹表现型集两种情形的比较，图6中的最后两幅图表示了函数φ（a）＝a/a＋b/b，它是a的一个函数。注意到无论适应度集是什么样的形式，总是能够找到使得φ（a）＞φ（a）成立的a的值。这就意味着在总是存在能够侵害ab种群的突变异种。
1704422251
1704422252
我们很自然地将图6（顶部）中的表现型a*b*归之于ESS，因为它是从一个由表现型集合所定义的可能策略集合中取得，并且它具有不被任何突变基因所侵害的性质。但是，这样的ESS不能再从条件（2.4a，b）中推导得到，而是必须根据基因频率写出递推关系，如果交配并不是随机发生的，那就必须根据不同交配类型写出递推关系。
1704422253
1704422254
在刚刚探讨的具体问题中，我们可以从递归关系中得到一个函数R，它在达致ESS时取得最大值。如何去寻找这样的递归关系并从中求得ESS往往不是显而易见的。但是，存在一个一般的方法，使得能够在这种类型的递归关系中找到ESS，这个方法将在附录九中给出。
1704422255