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我们首先将证明密度函数G（x）没有“缺口（gaps）”和“概率原子”。假设G（x）有一个缺口，如图43a所示，对比选择策略A的个体和选择策略B的个体得到的回报，在某些相同的情形下，这两个策略都会取得胜利，并且在那些情形下会取得相同的回报。同时，在某些相同的情形下，它们都会失败，但此时A策略者将比B策略者损失更多。这样，策略B相比策略A更具优势，因此G（x）不能成为一个ESS。那就是说一个ESS不容许有缺口存在。
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图43 在具有随机回报的消耗战中，关于策略集合中不存在缺口和概率原子的证明。
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现在考虑图43b，在此图中，存在一个非零的选择策略A的概率P。对比选择策略A的个体和选择策略B＝A＋δ的个体得到的回报。在那些两个策略都获胜的情形下，它们的回报是相同的。当两者都失败时，B策略者的代价相比A策略者少δ，但是，B策略者能够在A策略者手中赢得P/2比例的竞争（即在面对的对手是A策略者时，有一半的机会获胜）。由于P值非零，由此得出结论，如果δ足够小，那么B策略者的期望回报将比A的期望回报更高。但如果G（x）是博弈的一个ESS，那么根据Bishop-Canning定理（附录三），上述情况不能成立。因此G（x）不能够具有一个概率原子。
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现在，我们可以证明p1（x）和p2（x）不可能相互重叠。考虑策略J＝［m，p2（x）］，那就是说，如果个体是类型1，则选择一个固定的m值；如果个体是类型2，则选择p2（x）。I是博弈的ESS，J＝［p1（x），p2（x）］。那么
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E（J，I）＝q［v1P（m）－R（m）］＋（1－q）S
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其中P（m）表示面对G（x）的m策略获胜的概率，R（m）表示面对G（x）选择m的期望成本，并且S表示面对G（x）类型2的个体所获的期望回报。
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根据Bishop-Canning定理，在所有支撑p1（x）的策略值m中，E（J，I）是一个常数。因此有
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v1P（m）－R（m）＝A
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其中A是一个常数并且m的函数P（m）和R（m）并不取决于竞争者是类型1还是类型2的。
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根据一个极为相似的论据，如果m在p2（x）的支撑中，那么
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v2P（m）－R（m）＝B
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其中B是一个常数。因此，如果m既在p1（x）的支撑中又在p2（x）的支撑中，那么
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由于G（x）没有缺口存在，P（m）随着m单调上升。由于v1≠v2，由此得到结论：只有唯一的m值能够满足（G. 2）。那就是说，在p1（x）和p2（x）之间不可能存在交叠部分，由于不存在缺口，所以两个分布将在m点处相遇。
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我们可以进一步证明，如果v1＞v2，那么p1（x）的图像将位于p2（x）之上，如图44所示。这些结论可以扩展到具有多于一种竞争者类型的情形，其中，不同的类型将获得不同的胜利回报。在极限状态下，如果胜利的回报是连续分布的，那么就会存在与每一个都相关联的唯一选择，胜利总是倾向于具有较高回报的那位竞争者。
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Bishop，Canning和Maynard Smith（1978）给出了这些命题的更正式的数学证明，并且展示了可以推导得到的实际的概率分布究竟是什么样的。我们进一步证明了在这一类型的竞争中G（x）是严格下降的。
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演化与博弈论 [:1704421380]
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八、由一个或多个连续型变量定义的博弈的策略集合的ESS
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在性别比问题中（第82页），我们假设性别比的可能数值s能够连续地在0到1之间变化。在异配生殖的问题中，我们假设一个可能的配子的质量能够从δ到某个最大值M之间连续地变化。在每一个例子中，我们寻找的都是一个唯一的演化稳定数值，分别为s*以及m*，以使得由具有这个数值的个体所构成的种群能够抵抗具有任何其他不同数值的突变异种的侵害。
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如果m*是演化稳定的，那么对于任何的m≠m*都有W（m*，m*）＞W（m，m*）成立。如果W是一个可微的函数，那么在下述条件满足的情况下，上述命题成立
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这些条件保证的稳定性只能够抵抗具有较小表现型效应的突变异种的侵害，那就是m≃m*的情况。当我们找到一个满足条件（H. 1）的m*，那么就必须检验它是否能够抵抗更为极端的突变异种的侵害（一个例子见第52页）。