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其中P（m）表示面对G（x）的m策略获胜的概率，R（m）表示面对G（x）选择m的期望成本，并且S表示面对G（x）类型2的个体所获的期望回报。
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根据Bishop-Canning定理，在所有支撑p1（x）的策略值m中，E（J，I）是一个常数。因此有
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v1P（m）－R（m）＝A
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其中A是一个常数并且m的函数P（m）和R（m）并不取决于竞争者是类型1还是类型2的。
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根据一个极为相似的论据，如果m在p2（x）的支撑中，那么
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v2P（m）－R（m）＝B
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其中B是一个常数。因此，如果m既在p1（x）的支撑中又在p2（x）的支撑中，那么
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由于G（x）没有缺口存在，P（m）随着m单调上升。由于v1≠v2，由此得到结论：只有唯一的m值能够满足（G. 2）。那就是说，在p1（x）和p2（x）之间不可能存在交叠部分，由于不存在缺口，所以两个分布将在m点处相遇。
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我们可以进一步证明，如果v1＞v2，那么p1（x）的图像将位于p2（x）之上，如图44所示。这些结论可以扩展到具有多于一种竞争者类型的情形，其中，不同的类型将获得不同的胜利回报。在极限状态下，如果胜利的回报是连续分布的，那么就会存在与每一个都相关联的唯一选择，胜利总是倾向于具有较高回报的那位竞争者。
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Bishop，Canning和Maynard Smith（1978）给出了这些命题的更正式的数学证明，并且展示了可以推导得到的实际的概率分布究竟是什么样的。我们进一步证明了在这一类型的竞争中G（x）是严格下降的。
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演化与博弈论 [:1704421380]
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八、由一个或多个连续型变量定义的博弈的策略集合的ESS
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在性别比问题中（第82页），我们假设性别比的可能数值s能够连续地在0到1之间变化。在异配生殖的问题中，我们假设一个可能的配子的质量能够从δ到某个最大值M之间连续地变化。在每一个例子中，我们寻找的都是一个唯一的演化稳定数值，分别为s*以及m*，以使得由具有这个数值的个体所构成的种群能够抵抗具有任何其他不同数值的突变异种的侵害。
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如果m*是演化稳定的，那么对于任何的m≠m*都有W（m*，m*）＞W（m，m*）成立。如果W是一个可微的函数，那么在下述条件满足的情况下，上述命题成立
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这些条件保证的稳定性只能够抵抗具有较小表现型效应的突变异种的侵害，那就是m≃m*的情况。当我们找到一个满足条件（H. 1）的m*，那么就必须检验它是否能够抵抗更为极端的突变异种的侵害（一个例子见第52页）。
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这个方法可以很容易地推广到策略集合需要多于一个变量进行描述的情形。假设策略由X和y两个变量来定义，并且假设x*和y*是一个ESS。我们考虑这个ESS在面对一个时刻只能影响其中一个变量的突变异种的侵害时的稳定性。这样我们假设在一个x*y*的种群中一个突变异种xy*的适应度为W（xy*，x*y*），稳定性要求满足下列条件
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且
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而且突变异种x*y也需要满足类似的条件。
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这两个稳定性的条件给出了两个方程，从中可以解得x*和y*。
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举一个例子（梅纳德·史密斯，1980），这个方法是在性别比等于1∶1以及总投资n（m*＋f*）为常数的两个约束条件下，用以寻找演化稳定的亲代对雄性子代的投资（m*）以及雌性子代的投资（f*），其中2n是家庭的容量。
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