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对归纳推理建模
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如果人类真的是这样推理的，那么我们应该怎样做，才能将这种推理模型化呢？如果决策问题是随着时间的推移来完成的，那么一个很自然的思路就是：设定一个由行为主体组成的集合，行为主体可以是异质的，同时也假定他们可以形成各自的心理模型、假说或主观信念。这种主观信念可以用不同形式来表示。它们可以用简单的、用来描述或预测一些变量和行动的数学方程式来表示，或者可以用经济学中常见的那种形式相当复杂的预期模型来表示，又或者可以用统计假说或“条件-预测”规则来表示，例如，“如果观察到情况Q，那么就预测结果或动作D”。所有这些通常都是主观的，也就是说，它们随行为主体不同而不同。一个行为主体在某个时刻，可以只持有一个主观信念，也可以同时持有多个主观信念。
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每个行为主体，都需要将自己的各个信念模型的“历史绩效”记录下来。当需要做出选择时，他就根据当前他认为最可信的，或者说可能是最有利可图的那个信念模型来采取行动。至于其他信念模型，他先记在心里。或者，他也可以根据若干个信念模型组合来采取行动。然而，人类的一般倾向是，记住许多信念模型或假说，可以根据最合乎情理的那一个采取行动。一旦采取了行动，整个图景就会得到更新，同时行为主体也会更新所有假说的“历史记录”。
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这是一个“会学习”的系统。通过“学习”，行为主体知道他们的假说当中哪些是有效的，他们会不时舍弃“表现不佳”的假说，并生成新的“想法”以便取而代之。行为主体坚持当前最可信的假说或信念模型，但是一旦它不再有效，他们就会放弃它，转而采用一个更好的。当然，这会导致一种内置的滞后。一个信念模型之所以被坚持，不是因为它是“正确的”，行为主体没有办法知道它是否正确，而是因为它在过去是有效的，因此在认定它应该被舍弃之前，必须先积累一些关于它的“失败”记录。一般而言，每个行为主体都可以说，有一个据此采取行动的“缓慢周转的假说库存”。或者，我也可以说这是一个临时得到了实现的预期系统，当然只是暂时实现，而不是完美地实现。当这些信念、模型或假说不能再实现时，它们就要让位给不同的信念、模型或假说。
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有的读者可能觉得自己对这个系统不熟悉，那样的话，他或她或许可以回想一下经济学中标准的学习模型，然后把这个系统视为它的一般化。在标准的学习模型中，所有行为主体通常共享一个具有未知参数的预期模型，并根据当前最合理的参数值来决定自己的行动。与标准的学习模型相比，我们的行为主体是异质的，并且每个行为主体都运用若干个主观模型，而不是共享一个统一的模型。显然，这是一个更加丰富多彩的世界。人们可能会问，在特定的情况下，它是否会收敛到某种标准的信念均衡，或者会不会永远保持开放，总会产生新的假说和新的想法。
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这也是一个进化的世界，或者更准确地说，这是一个共同进化的世界。这就像生态系统中的物种一样，为了生存和繁殖，必须通过竞争、通过适应自己和其他物种共同创造的环境来证明自己。在我们这个世界里，各种假说要想变得准确、要想成为行动的依据，就必须通过竞争、通过适应自己和其他行为主体的假说共同创造的环境来证明自己。因此，在任何一个阶段，作为行动依据的一系列想法或假说将共同进化。[2]
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然而，一个关键问题仍然悬而未决。假说或心理模型到底来自哪里？或者说，它们是怎样生成的？从行为的角度看，这是心理学中的一个深层问题，与认知、对象表征和模式识别有关。我在这里不可能深入探究这个心理学问题。不过，在构建模型时，还是有不少既简单又实用的方法。有时，我们可以赋予行为主体某些焦点模型。焦点模型指的是那些明显的、简单的和容易处理的模式或假说。例如，我们可以生成一个“焦点模型库”，然后分配给行为主体。而在其他时候，在给定一个合适的模型空间的情况下，我们可以用遗传算法或其他类似的“智能搜索设备”，生成“更有智能”的模型。或者，我们还可以允许行为主体相互“借用”心理模型。在心理学中，这被称为模型“迁移”。无论选择哪种建模方法，重要的是一定要明确，上述框架必须独立于所使用的具体假说或信念，就像消费者理论框架独立于所选择的特定产品一样。当然，要在特定问题中应用某个框架，则必须采用某个生成信念的系统。
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60人！归纳推理揭开的谜底
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归纳推理（Inductive Reasoning） 在某些决策环境中，我们先形成各种各样的工作假设，并根据其中最可信的那个工作假设采取行动，如果不再有效，那么就用新的工作假设取而代之。
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接下来，我将构造一个问题，以它为例来说明何为归纳推理，并阐述如何对归纳推理建模。假设现有N个人，每个人独立决定要不要在某个晚上去酒吧消遣。为了更具体起见，我们不妨假设N为100。酒吧的空间是有限的，如果酒吧里不太拥挤，那么来酒吧的人就可以度过一个愉快的夜晚。具体地说，如果这100个可能去酒吧的人当中，只有不到60个人真的去了，那么去的那些人就可以度过一个愉快的夜晚。没有人能够提前知道当晚会来酒吧的确切人数。因此，如果一个人或行为主体预期，当晚去酒吧的人小于60个，那么他就会去（他认为值得一去）；如果他预期去酒吧的人会超过60人，那么他就宁愿待在家里。这些人在做出决策时，不会受自己以前有没有去过酒吧的经验的影响，同时不同行为主体之间也不存在共谋或事先的沟通。唯一可用的信息，是过去几个星期以来出现在酒吧中的人数。这个问题的灵感，来自圣塔菲研究所旁边一家名为“爱尔法鲁”的酒吧。这家酒吧每周四晚上都有爱尔兰音乐会。不过，很多类似的场所中都会出现同样的问题，比如读者可以想象一下你去吃午餐的餐厅，你也许希望它安静点，但是它可能很拥挤。事实上，任何“公地问题”或“协调问题”，只要涉及数量上的限制都是一样的。在这个问题中，我们感兴趣的是，每个星期来酒吧的人数变化的动力学机制。
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不难看出，这个问题有两个有趣的特点。首先，如果有一个“显而易见”的模型，所有行为主体都能够根据这个模型，预测来到酒吧的人数并在此基础上决定去不去酒吧，那么通过演绎推理就能够求解了。但是，这里的问题显然不属于这种情况。给定最近来酒吧的人数，可以设想一大批看上去同样合理、同样有根据的模型。因此，也就无法得知其他行为主体可能选择哪个模型，这样某个“有参照意义”的行为主体，也就不能以某种确定的方式给自己选定一个模型。这里不存在演绎理性解，即没有“正确的”预期模型。从行为主体自身的角度来看，这里的问题是不明确的，因此他们被推进了一个归纳的世界。其次，在这里令人烦恼的是，任何一个共同的预期都会被打破。如果所有人都预测很少有人会去，那么所有人都会去，而这个结果将证明这种信念是无效的。同样地，如果所有人都预测大多数人会去，那么将没有人会去，这种信念同样被证伪。[3]由此，行为主体们的预期将被迫变得有所不同。
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行文至此，我想请读者暂且先停下来思考一下：随着时间的推移，来到酒吧的人的数量（为了行文方便，以下简称为“到场人数”）会如何动态地变化。它会不会收敛？如果会收敛，那么为什么收敛？或者，它会不会陷入混沌呢？我们又该怎样进行预测？
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动态模型
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为了回答上述问题，我将根据上面描述的框架构建一个模型。假设这100个行为主体，每个人都可以形成若干个“预测器”或假说，即有这样的函数，将过去d周的到场人数映射为下周的到场人数。例如，最近各周的到场人数可能构成了如下序列：
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……44，78，56，15，23，67，84，34，45，76，40，56，22，35。
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据此，行为主体构建的假说或“预测器”可能是这样的，预测下周的到场人数将为：
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• 与上周的到场人数一样［35］，
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• 与上周的到场人数以50为中心构成镜像［65］，
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• 过去4周到场人数的（四舍五入）平均值［49］，
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• 过去8周到场人数的趋势，上下界为0和100［29］，
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• 与两周之前的到场人数相同（以两周为周期的循环）［22］，
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• 与5周之前的到场人数相同（以5周为周期的循环）［77］，
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……
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再假设，每个行为主体拥有一个由k个这样的“焦点预测器”组成的集合，而且可以将这个集合的“行为”记录下来。这样一来，他就可以用这个集合中当前最准确的那个“预测器”，来决定是去酒吧还是留在家中。我把这个“预测器”称为他的“活跃预测器”。一旦做出了决定，每个行为主体就会知道新的到场人数，同时更新他那些“预测器”的准确程度。
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