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技术采用数之差dn被限制在两个有限常数之间，因此当n趋向于无穷大时，dn/2n趋向于0，而且xn必定达到0.5。在这里，50对50的市场分割，就源于这些以相同的速率下降的结果。相反，在收益递增-吸收屏障的情况下，技术A的采用份额（市场份额）最终必将变为0或1。这是因为在一个吸收随机游走中，dn最终必定会以概率1跨越屏障。因此，这两种技术不可能无限期共存：一种技术必定会排除另一种技术。
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由此可见，可预测性在收益不变或收益递减的情况下是有保证的。在这两种情况下，市场份额将稳定在50对50的预测是正确的，其概率为1。然而，在收益递增的情况下，要想保证准确性，观察者必须预测技术A的最终份额为0或100%。但是任何一个预测都有一半的概率出错，可预测性因而丧失了。需要注意的是，尽管从理论上说，观察者可以预测某种技术占据整个市场的概率为s（aR–bR）/［s（aR–bR）+r（bs–as）］，但是他不可能准确地预测实际的市场份额，无论他对供给和需求条件的知识有多少。
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在收益不变的情况下，最多只有部分的灵活性。针对收益的政策调整在所有时候都可以影响选择，但前提是调整幅度要足够大，即足以填补对不同技术的偏好之间的差距。而在其他两种收益体制下，这类政策调整对应于一个或两个屏障的移动。在收益递减情况下，一个调整g总是会影响未来的选择，如果不是对市场份额有影响，就是对绝对数量有影响，因为反映屏障在未来会继续影响该过程的概率为1。因此，收益递减是有灵活性的。然而，在收益递增情况下，一旦这个过程被吸收到了技术A和技术B中，为了将屏障转移到足以影响选择所需的补贴或税收调整，也就是系统被“锁定”的程度的精确指数将无限增加。此时灵活性无法再保持下去。
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在收益不变和收益递减的情况下，遍历性很容易得到证明。在收益不变时，只有在某种非常特别的“排队方式”下，如出现的S型行为主体永远是R型行为主体的两倍，才能以0的相关概率偏离50对50的市场份额。而在收益递减时，任何历史事件序列，即行为主体的任何排队方式，都必定会将该过程保持在反射屏障之间，并将市场推向50对50的市场份额。在这两种情况下，行为主体都忘记了他们的“历史小事件”。但是，在收益递增这种收益体制下，情况却完全不同。行为主体形成的一部分序列导致市场结果“青睐”技术A，而剩余部分则导致市场结果“青睐”技术B。某些可能导致市场共享的、非常特别的排列，如S后紧跟着R，后面又紧跟着S、R，如此无限循环，其概率或测度为0。因此，确定｛ti｝的小事件决定了市场份额的路径，这个过程是非遍历的或路径依赖的。也就是说，它是由它的历史小事件决定的。
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在收益不变和收益递减的情况下，路径有效性很容易证明。在收益不变的情况下，以前的采用不会影响收益。每个类型的行为主体都选择自己偏好的技术，滞后技术没能得到进一步发展或进一步采用，也不意味着放弃一定的收益。在收益递减的情况下，如果一个行为主体选择了领先的技术，那么他必定更偏好可用的滞后技术。但是根据定义，进一步采用滞后技术又会降低他的支付。因此，选择导致技术采用过程沿着一条较劣的发展道路走下去，这个可能性不会出现。与这些情况相反，在收益递增的情况下，则完全可能导致较劣的发展道路。假设市场锁定在了技术A上，R型行为主体不会有什么损失。但是对于S型行为主体来说，如果他们偏好的技术B以往得到了平等的开发并且可供他们选择，那么每个S型行为主体就可以获得（bS–aS）。因此，这里至少有一种类型的行为主体会觉得“遗憾”。如果两种技术以不同的速度得到改进，那么无效率问题可能会进一步加剧。如果在早期选择了当初有吸引力但后来改进缓慢的技术，就可能将整个市场锁定在这个较劣的选择上。从长远来看，被排除的那种技术如果得到了同等的开发，那么两种类型的行为主体的境况都会得到改善。
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模型的扩展
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对于上面这个基本模型，我们不难在各个方向上进行扩展。同样的定性结果适用于M种技术竞争的情形，也适用于不同类型的行为主体所占比例不相同的情形。在这里，随机游走会发生“漂移”。而且，如果不同技术在不同的时间“到达”市场，那么动态过程仍然与以前一样，不过该过程将从nA或nB不为0的初始状态开始。因此，在现实世界中，早期启动的某种技术可能已经被锁定了，从而使得新的、可能更好的技术无法在市场上获得一个立足点。
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在行为主体的数量有限，且不会无限增多的情况下，吸收或反射及依赖于这两种性质的其他性质仍然成立，只要行为主体的数量与切换屏障之间的“间隙”相比足够大。
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那么，对于由厂商资助开发的技术，策略性行动会不会改变上面描述的这些结果？对于这个问题，我们还没有完整的答案。
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汉森（Hanson）在一个基于上述模型的模型中表明，在存在策略性行为的情况下，对技术的市场排斥也会发生：厂商会采取渗透定价法，即在早期承受一些损失来换取日后潜在的垄断利润，最终除了一个企业之外，所有其他企业都退出的概率为1。但是，在贴现率很高的情况下，企业最感兴趣的可能是当前的销售额，而不是让竞争对手关门大吉，这样市场分享现象就会重新出现。[7]
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最有趣的一个扩展也许是理性预期的引入。在这种情况下，行为主体的收益受未来行为主体的选择的影响。这种情况的一个典型例子是标准（这种技术）的形成。在这个问题上，至关重要的是，未来的用户会不会选择我现在所选择的。卡茨（Katz）和夏皮罗（Shapiro）证明，在一个存在策略性互动的两阶段决策模型中，行为主体对这些未来选择的预期会使市场变得不稳定。我们可以将卡茨和夏皮罗研究结果推广到我们的随机动力学模型中。假设行为主体所形成的预期表现为他们对自己所身处的随机过程类型的信念。当产生于这些信念的实际的随机过程类型，与他们所认为的随机过程类型相同时，我们就可以得到一个理性预期（即得到了满足的）均衡过程。在收益递增的情况下，理性预期也会导致吸收随机游走，但是在这个随机游走中，对锁定的预期加速了锁定，从而缩窄了吸收屏障间距，并恶化了市场的根本不稳定性。
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复杂经济学：经济思想的新框架 [:1704531129]
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一般框架：考虑随机性小事件
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如果有一个一般性的分析框架，可以在比上述基本模型更一般的前提假设和收益体制下，分析对技术的序贯选择问题，那无疑是非常有益的。特别是，如果我们能够确定在什么情况下，“为被采用而竞争”的技术市场最终必定会被某项单一技术所支配，那将是非常有用的。
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在设计一个一般框架时，保留以下两个性质可能非常重要：（i）在可供选择的技术之间进行的选择，可能会受到选择时每种技术被采用的数量的影响；（ii）“模型外”的小事件可能影响技术采用，因而必须允许随机性的存在。因此，技术采用的市场份额，可能不是直接决定了下一种被选中的技术，而是决定了每种技术被选中的概率。
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接下来，我们考虑一个动力学系统。在这个动力学系统中，有K种技术，在每一次进行技术采用决策时，都有一种技术被采用，其概率分别为p1（x）、p2（x）、p3（x）……pK（x）。在这里，概率向量p是向量x的函数；而向量x则为到目前为止的采用总额中，技术1、技术2……技术K各自所占的采用份额（即比例）。初始比例向量给定为x0。在这里，我把p（x）称为采用函数。
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现在，我们可以研究这个动力学系统中，各种技术的长期市场份额或采用比例会是怎么样的。作为例子，考虑如图4-2所示的两个不同的采用函数（在这里，K = 2）。根据图4-2，我们可以推测，在采用过程中，当技术A的采用概率高于其市场份额时，技术A的比例倾向于上升；而当技术A的采用概率低于其市场份额时，技术A的比例则倾向于下降。如果采用比例或份额在总的采用数量增加时不再变动，那么我们就可以推测，它们在采用函数的某个不动点上“适应”下来了。
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图4-2 采用函数示例
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在1983年，阿瑟、埃尔莫利耶夫和卡尼奥弗斯基（Kaniovski）证明，在某些技术性条件下，上述猜想是正确的。[8]这种类型的随机过程，会以概率1收敛到从比例（采用份额）到采用概率的映射的某个不动点。当然，并不是所有的不动点都有这种“资格”。只有“吸引的”或稳定的不动点，即预期的运动过程所导向的点，才能够以长期结果的形式出现。而且，在采用函数随时间n变化，但趋近于限制函数p的情况下，该过程将收敛到p的某个吸引固定点。
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因此，在图4-2中，可能的长期份额是0和1（对应函数p1为x1，对应函数p2为x2）。当然，在存在多个不动点的情况下，到底选择哪一个取决于该过程所采取的路径。这就是说，取决于随着过程展开而发生的随机事件的累积。
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现在，我们有了一个通用的框架。根据这个框架，我们可以立即得到两个很有用的定理：路径依赖定理和单个技术支配定理（single-technology dominance）。
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定理1：一个采用过程，当且仅当其采用函数p具有多个稳定的不动点时，是非遍历的和不可预测的。
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定理2：一个采用过程，当且仅当其采用函数p只有在x是单位向量时才具有稳定的固定点时，以概率1收敛为单个技术支配。
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这两个定理是前面阐述的基本理论的简单推论。因此，在两种技术竞争的情况下，只要在采用份额中至少存在一个不稳定的“分水岭”，当然必须存在多个不动点，那么该采用过程就是路径依赖的。在这个分水岭之上，技术的采用是自我强化型的，即倾向于增加自身的份额；在这个分水岭之下，技术的采用则是自我否定型的，即倾向于减少自身的份额。因此，技术在被采用后仅仅获得了一定优势是不够的。在特定市场份额上，这种优势还必须是能够自我强化的。
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