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“数为什么可能?”姑且不论证它是否为一根本问题，如果我们承认它是一个值得思考的问题，那么对这样一个问题的思考所引出的问题就是：人作为一种生命有限且理性能力有限的智慧物种，他怎么可能认识无限呢?你们做练习题时，求极限，你们知道我的问题的意思，人怎么可能认识无限——我把这个问题叫做“数学根本问题”。数学还可以有许多其他的问题，但对我理解的数学而言，那些都不是根本问题。
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布劳威尔被称为数学领域的尼采，他以超越的眼光重估了一切价值……一切，包括希尔伯特的纲领，包括亚里士多德以来无人敢怀疑的逻辑基本定律。逻辑学有三条基本定律，你们在数学分析课的引论部分应当都学过了：同一律，无矛盾律，排中律。同一律，就是A=A，这总是可以成立的吧?总不能怀疑吧?无矛盾律，就是A≠A，你不能说，“此时此地正下着雨并且不下雨”。最后，排中律，它最重要而且最麻烦，引起了直觉主义与公理主义之间的长期争议，它声称，A或者A等于整个“universe”——即该命题适用的定义域（domain）。这样，你如果要检验排中律的话，你就必须逐一检验空间内的每一点，而这通常是一个无限过程。换句话说，“A或者A”，例如，“下雨或不下雨”这一命题，它所适用的一切场合和时间，你都必须逐一检验。因此，当你无法在有限多次的步骤里加以检验，当你并没有亲自检验一切可能出现的情况时，你怎么可以相信这一命题的完全真确性呢?所以这一类命题不符合数学直觉主义，因为它们不是心灵直观可以相信的。
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布劳威尔这一学派，因为强调直觉主义的数学立场，不能同意排中律的合法性，不能承认依赖于排中律所证明的任何数学定理。直觉主义者认为数学定理的合法的证明，应当是一个建构过程，而不是采取“反证法”的过程。因为任何建构性的证明都是在有限步骤内可以完成的。例如，命题：“在100以内的任何偶数与奇数相加等于一个奇数”，在有限多步骤内，可以用穷举法一一加以检验，符合直觉主义立场，故而由此而证明的命题，在数学上具有合法性，它是可靠的。
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有没有办法建构完整的数学体系呢?我们知道，波兰数学的“华沙学派”的努力一直是建构性的。这是逻辑学里面最重要的一个学派，它为人类贡献了最重要的一些逻辑学家，例如巴拿赫（Stefan Banach），例如塔尔斯基，还有几位重要的数学家，都是华沙学派培养出来的。他们服从这样的信条：不使用排中律。
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尼采借东方哲人查拉图斯特拉来解释他的非西方思考，布劳威尔借东方神秘主义来超越西方语言。请你们记住这两句话。
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我个人所赞美的社会科学方法，是直觉主义的，是基于常识的判断。这是我的基本态度，我不信任数理公式。刚才主持人也介绍了，说我“反对数学的滥用”。是的，因为数学的滥用者，对于他们要解释或研究的现象，根本上就缺乏直觉。缺乏直觉，怎么可以从事社会科学研究呢?现在，就在我们教室的下面那层，刚才我看到我的朋友周其仁老师在那儿讲课。我最喜欢听他的课，为什么呢？因为他采取的方法，我称之为“基于常识的判断”，那是基于直觉的，经济学直觉。基于常识，我们能够作什么样的判断呢?就是一开始我介绍的，基于常识，我们试图认识“现象”所具有的各种模式，我们判断自己的这些认识是否真确。
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当代数学把自己定义为对于各种自然现象的模式的直观。当代社会科学呢?可以把自己定义为是对于各种社会现象的模式的直观。这里，社会现象包括了心理现象。只要它们属于我们可以经验的世界，那么，基于常识的判断就可以让我们这些研究者直观到它们。我把我的这一立场称为“社会科学的直觉主义”。
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社会科学的直觉主义，不认同基于常识的“运算”，它只认同基于常识的“判断”。如果我们看到一位社会科学家，缺乏对真实世界的直觉，整年在计算机上摆弄那几套数据——从国家统计局里搞来的，我们便会觉得，他在做一些没有意义的研究。因为他对所研究的现象缺乏一种心灵直观。我不能否定他是在“谋生”，但那不是“社会科学”。这种工作，我叫做“运算”，不叫做“判断”。
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判断是什么?很早以前我在《读书》上发表过一篇随笔，《从读书的捷径说到叔本华的认识论》。在那里，我介绍了叔本华的认识论。叔本华对判断力有非常深入的体会和研究，他影响了尼采，并由此影响了王国维和鲁迅。按照叔本华的理解，判断力其实贯通在我们理解的各个环节中，它的纯粹形态，可以称为“顿悟”（参阅我的讲义《制度分析基础》前五章）。判断或直觉，这一方法是周其仁老师和张五常教授所使用并且推崇的——我称之为“直面现象”的方法。
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在社会科学直觉主义的审视下，数学是什么?我们现在回过头来，盘问数学的实质是什么。当然，你们想从我这儿听到明确的答案，那是不可能的。我只是想把这问题的复杂性刻画出来。
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数学行为，它包括这样两个方面：（1）认知者，也就是数学家，他的意向行动；（2）被认知的内容，或者意向内容，也就是他试图加以心灵直观的现象的“模式”。认知者，我们在纸上画一个小人儿，表示这位认知者。他的意向行动，我们用他的目光来表示。然后，被他认知的那一数学客体，出现了某种“模式”，那是被心灵直观地建构出来的，被他直觉到的，被他判断出来的。
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这样一个过程，作为整体，叫做“数学行为”。它是怎么被认知者本人认识到的呢?熟悉数学思想史的同学都知道，认知者与被认知物之间的关系，必须在一个更高的层次上——例如“元语言”层次，或“元数学”层次，或“元逻辑”层次，才可以被表达出来。小人儿（姑且以符号A表示）和目光所指向的数学对象（姑且以符号B表示），这两件事物在一个更高层次上发生的认知行为中都成为认知的内容。你们明白了吗?也就是说，A的目光射向了B，那么A如何知道A的目光正在射向B呢？A必须要“反思”，必须要退出它现在的这个意向行动，另行建构一个更高层次的意向行动，在那里，A的意向内容是：“A的目光射向B”。但是这一更高层次的数学行为，它本身怎样能够被A意识到呢?也就是说：A怎样意识到“A正在意识到‘A的目光射向B’”呢?为了能够把握他自己的数学行为，他必须不断地上升，建构更高层次上的意向行动与意向内容。
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这样一种无限回归或者无限上升的层级建构，谁最早认识到它给人类理性带来的致命困难呢?康托（Georg Cantor）。“公理集合论”，你们都知道吧?他是公理集合论的创始人之一，但是他主要是通过研究“无限集”问题而成为最重要的数学家的。
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康托为什么到了中年突然陷入了非常严重的“bipolar depression”?严重的抑郁症，而且两极摇摆，今天狂喜，明天狂悲。康托在后半生都处于抑郁症的这种两极状态中。1918年1月，他死于贫困。当时是第一次世界大战的末期，人们都很潦倒。康托已经完全没有钱了，没有人再跟他签约，没有人再让他教书。康托，这样重要的一位数学家，贫困潦倒而死。
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你们知道“康托悖论”吧?他问：“一切集合的集合是什么?”对于这个问题，如上所述，数学家必须反思他自己的数学行为，必须一层一层地上升到无限高的层次。无限，注意，把上述那个过程取极限，如果你能想像这个极限的话，你也就到了康托精神崩溃的边缘了。
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康托在写给戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）——戴德金，你们在数学系第一年学习时就应该知道了，所谓“戴德金切割”——的一封私人信件里说，他的集合论，他用“对角线法”证明了有理数集是可数的，也就是有理数集一一对应于自然数集。这导致了希尔伯特的第一个问题，所谓“连续统假设”问题。希尔伯特第一问题，今天已经解决了，被哥德尔解决了。连续统假设是什么呢?这一假设认定：不存在这样一个集合，它的“势”——一种表达无限集合的元素的数量的方法——比实数集小，同时比自然数集大。这很令人惊讶，因为自然数集合多么离散呀，可是比它的势更大的，就是实数集合的势，就是连续统或实数轴，没有居于这二者之间的。
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康托觉得无限集的上述性质，太令人费解，不可思议，具有悖论的性质。他无法摆脱这一由“无限”引起的困境，于是他就给戴德金写了一封私人信函，在那里，他写了这样一句话：“God is the absolute infinite”。注意，他使用“绝对无限”（absolute infinite）来刻画上帝。认知者一个层次一个层次地向上建构，最终在这一过程的极限处，认知者必须试图理解“一切集合的集合”，即包含一切层次的层次。有这件事情吗?从哥德尔的论述，今天我们知道，我们不可能无矛盾地描述“一切集合的集合”。对于人类理性和逻辑，这是不可能的。谁可能?上帝。于是，康托证明了上帝的存在性。上帝存在，因为无限集存在而且不可被人类理解。康托由此陷入了精神崩溃。
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现在，我们把目光转向20世纪初叶，一位叫做舍勒（Max Scheller）的伟大的现象学家。今天学者们非常尊重他，把他当做20世纪最重要的三位现象学家的第二位，即胡塞尔、舍勒、海德格尔。其余两位的名字，想必你们听说过了。
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舍勒论证过这样一件事情，接着我们刚才描述的那个小人儿，舍勒的论证是：你如何知道你在认知呢?你必须建构第二个层级。在第二个层级上，你如何知道你如何在第一个层级上认知呢?于是你必须建构第三个层级。……这样一层一层地建构上去，直到无限，总有一个最高的层次。在那里，舍勒认为，只有上帝在那儿，包容着我们的全部认知层级。
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这个上帝，舍勒以大写的“Person”来表达。我们知道，person是“人”或者“人格”，把它大写出来，刘小枫认为，应该翻译成“位格”，即上帝的位置，但是人的神性也在那里。
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只有在位格上，才可能包容刚才说的无穷多的层级的历史，也就是康托的“一切集合的集合”。不过，从布劳威尔的直觉主义传统，我们知道，“There is no such thing as the set of all sets”，直译：没有“一切集合的集合”这类事情。为什么没有“一切集合的集合”呢?因为我们的有限理性不可能无矛盾地描述它，因为我们的心灵不可能直观到它。
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毕达哥拉斯类型的数学家，相信数是永恒不变的世界秩序的表达，是上帝的语言。不过，今天，从脑科学的证据，我们相信，脑的演化结构以及人类的实践活动，建构了“数”本身。我这样说，目的是要推翻从毕达哥拉斯和柏拉图直到康德和康托的数学观念。
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现在我再介绍一位哲学家，也是心理学家，还是教育学家，最后，他还是对中国思想界发生过重大而深远影响的一位学者，他就是杜威（John Dewey）。杜威有一位学生，叫胡适。五四运动发生的时候，杜威恰好在在上海，于是他就不走了，在中国逗留了两年，考察了许多地方。他也来过杭州，来过两次，分别是1919年和1921年。
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杜威是非常重要的一位哲学家，美国实用主义哲学的第三代传人。在最近出版的他的一部著作的中译本里，他表达了与我们上面介绍的数学观念十分接近的看法。他认为：数，作为概念，根本就是人类实践的结果，而不是彼岸世界的、康德式的先天综合概念。
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他所引述的另一位学者，是库萨的尼古拉（Nicholas of Cusa）。后者生存的时期，比杜威早了将近六百年。库萨是中世纪哲学家，他是这样来表述下面这一数学问题的，因为你们是数学系的学生，我就可以表述得更简单些。用两句话，第一句：“概念1和概念2的相互置换，不能够改变这个世界的体验。”意思是说，如果你把概念1和概念2置换，也就是在所有适用场合，用概念2取代概念1。这样，在你世界观的所有场合里，在原来是概念1的位置上，现在都替代以概念2。这是第一句话的前件，或者叫做“假如”。如果你这样做了，而且你对这个世界的体验，不发生任何改变。这就是第一句话的后件，或者叫做“结果”。现在是第二句话：那么这概念1与概念2之间的区分，就是不必要的。现在我们把尼古拉的两句话结合起来，成为：如果两个概念在一切场合的置换不改变我对世界的感受，那么就没有必要区分这两个概念。
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