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尼古拉的看法如何应用于数学呢?假如地球上有两种人：第一种人，他的感觉是“粗线条”的，不妨叫做“粗感觉人”；第二种人，他的神经纤维比较敏锐，不妨叫做“细感觉人”。现在，粗感觉人和细感觉人坐在一块儿。细感觉人说：有必要区分数字1和数字2，因为数字1和数字2的置换对我们细感觉人来说，意味着不同的世界。也就是说，细感觉人的世界会因数字1和数字2之间的置换而有所变化，例如，他得到1只羊和得到2只羊，感觉不一样。细感觉人说：似乎羊肉的数量在急剧增多。但是粗感觉人回答说：不对，我们感觉不到1和2有这么大的差异。他会说：似乎羊肉的数量几乎没有变化呀。于是，按照库萨的尼古拉的看法，对于粗感觉人的世界而言，那里的数学根本就没有必要有“1≠2”这样的命题，因为没有对应的感受，没有对应的心灵直观。
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在当代，最早提出了与尼古拉上述看法类似的看法的，就是皮尔士（Charles S. Pierce），实用主义哲学的第一代大师，逻辑学家，也是詹姆士（William James）的老师，后者算是杜威的老师。通常这样说：实用主义哲学，有三代传人，虽然他们的年龄不尽符合这一排列。
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皮尔士最早提出了“清晰的概念”的定义。也就是，一个概念，如果让你感觉到有了它，世界将会有所改变，那么这概念就是有用的。什么叫“有用”?你知道了这个概念与你不知道这个概念的时候相比，你对这个世界的看法会有所改变。否则，这概念就没用，就应该用“奥卡姆剃刀”删掉。
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皮尔士的私人学生，是詹姆士。虽然后者死得很早，但他是第二代传人。第三代传人，就是杜威了。这样，杜威通过胡适影响了中国思想的方向。当然，还因为实用主义哲学与中国文化传统有暗合之处。在五四运动的时代，中国思想界几乎是在追捧着美国实用主义哲学。
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尼古拉的看法，我们从数学角度看，不就是“拓扑”的“粗”和“细”造成的吗?一个拓扑，如果它比另一拓扑更“粗”，那么它就不能区分数字1和数字2的区别。
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刚才我提到的杜威著作的那个译本，2004年1月份才正式出版，标题是《确定性的寻求——知和行的关系研究》。让我原文引述杜威在这本书的看法：“我们已经十分习惯于把知识与动作分隔开来，以至于我们认识不到这一分隔的情形如何支配了我们对于心灵、意识、反省的探究的想法。”这是什么意思呢?柏拉图的看法：数在天上，我们的实践和我们的数学行为，与天上的数的性质是互不相关的。我们只是用眼睛或心灵去直观天上的数，发现数的秩序，如同发现行星和恒星运行的秩序一样。其实，这是一种“物我两分”的看法。杜威说：“关于认识的理论派别繁多，但是它们都有一个共同的假设”——凡不是实用主义的哲学，如唯心的、唯物的、经验的、逻辑实证的，都有一个共同的假设——“它们都主张，在探究自然的或者探究世界的操作中没有任何实践活动的因素进入被知对象的结构”。
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也就是说，“物我两分”，我的心灵直观到数的秩序的时候，这种直观、这种数学行为，绝不会影响数的秩序本身。杜威认为，这是一种不正确的看法。这种看法把整个宇宙先定地分成了主体和个体，我和物。这样一种消极的看法，它永久性地把心灵和认知器官的主要特征固定下来了，也就是说，认知过程被假设永远处于被知事物之外，二者之间不发生任何交互作用。这一切见解的根源，杜威说，是为了寻求绝对的确定性。为了追求确定性，我们把理论与实践，把知识与行为，相互割裂开来。这就是杜威阐述的基本主题。人类有这样一种天性，要规避风险，要规避一切不确定性。于是，他们就到天上去找这种绝对的确定性。
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杜威说到了爱因斯坦，在这个中译本的第141—145页。他说：牛顿假定，发生于同一观察区域内的事件，它的测量对于发生在另一区域内的事件，具有确定性的意义。爱因斯坦意识到这一“绝对时空”观假定是牛顿体系的致命伤。他要求以实验方法来测量“同时性”这个概念，也就是说，他要求把概念从柏拉图的天上拉到地上来，他要概念依赖于认知者的实验过程。“他质问：实验结果要求我们把概念做何种改变?因此就发生了一场不可逆转的真正的革命。”
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我再念几段，希望你们能听下去。在这本书快结尾的时候，杜威说到数学：“我们借助于符号，或者是姿态，或者是文字”——注意，语言和文字，都是符号——“或者更精巧的构造”——我们借助于符号，好处就是可以想像动作——“可以不动作而动作”。这是概念的唯一的用途：“借助符号进行实验”，所以“专门符号的发明，标志着思维有了这样一种可能性，就是从常识的层次发展到科学的层次”，从现实的层次进入到可能的层次。这是杜威对数学符号的最重要的一种洞见，根据这一洞见，数学让我们把实践的过程变成符号运算的过程。
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数学家可能认为，数学，它是人脑随意发明的产物，与实践无关。杜威认为这是一种错误的看法。其实，如果我们仔细考察，我们会发现，所有能够想像出来的数学实体，因为必须服从逻辑定律，如果你同意直觉主义立场的话，你可以不接受排中律，那么就考察服从同一律和无矛盾律的一切数学实体。考察的结果，所有的数学想像，都是关于逻辑可能的世界的想像。因逻辑无矛盾而成为“可能的”，这只是逻辑可能。这是杜威的看法，我没有想清楚，我未必同意。例如，有些数学概念，虽然在逻辑上是可能的，但是我们人类难以体验甚至无法体验它们，例如“无限”这个概念，那么按照上述的社会科学的看法，既然我们在这个世界里根本体验不到这些概念，它们就是多余的，可以用奥卡姆剃刀删去。可是我觉得有些不对头，因为有许多数学概念是不可体验的，但基于这些概念，我们可以推导出一些数学命题，这些命题是可以体验的，并且对这些数学命题的体验改变了我们对世界的看法。于是，那些原初的不可体验的数学概念，未必是多余的，因为它们可以推导出改变我们对世界的看法的命题。
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接着讨论“无限”概念。我说，今天我们应该把灯关上，然后谈谈我们和幽灵之间的故事，倾听幽灵叹息。从“无限”概念的可体验性和不可体验性，我们就回到了让康托发疯的理由，那就是所谓“上帝存在的本体论证明”（ontological proof of God）。
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显然，“信仰”是一个可体验的概念，它与“无限”不一样。不过，我可以信仰“无限”，大多数宗教信徒都信仰无限。信仰本身是可体验的，因为信和不信可以导致非常激烈的世界体验的差异。如果你是一个信仰者，如果他是一个不信者，那么你们两人对世界的体验，可以有重大差异，可以是激烈地不一样的。所以，信仰不是一个多余的概念。
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我们现在谈谈哥德尔的精神问题。凡是数学家，都容易精神崩溃。为什么呢?因为数学家需要面对数学根本问题，需要努力去理解“无限”概念，并且在这里陷入悖论。所有的数学家，如果他是好的，也就是有灵魂的，我现在看到我周围漂浮着从北京来的幽灵，你们能看见吗?如果哥德尔在这儿，我相信他应该能够看见它们。如果你有灵性的话，你如果是有灵性的数学家，你或许可以走到康托和哥德尔的境地。
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哥德尔在1970年给出了一个“上帝存在的本体论证明”。这一证明的基本思路，最早是由莱布尼兹给出来的，后者生活在几百年以前。证明的思路其实很简单，三项基本假设：（1）我心灵所直观的“上帝”，无所不在；（2）我所在的这个世界，只是偶然的，我是“偶在”（解释：我偶然投生到这个地球上，而没有投生在另一个地球上，没有在银河系的另一端，或是在人马座α星附近。我不可能知道，我今生今世投生在这个地球上，在中国，在这个教室里坐着，这叫做“偶在”）；（3）我有理性。
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地球上，一位有理性的认知者，试图理解他心灵所面对着的上帝，他试图证明上帝存在。怎么证明呢?只能用他的理性去证明。既然如此，从假设（1），上帝无所不在，也就是说，“上帝”在所有可能的世界里，而根据假设（2），我只在一个可能世界里。你们应当记得“模态逻辑”，或“可能世界的逻辑”。注意，我只在一个可能世界里，而上帝在所有的可能世界里。然后，使用康托的论证方式，我证明上帝存在，这里需要假设（3），我承认理性是有限的。
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哥德尔使用类似的方式证明了他的“不完备性定理”。不过，哥德尔在1970年给出上面的那一本体论证明之后，他不敢发表它，一直到1987年他去逝。我们知道，他去逝是因为他精神崩溃的时期，只相信他妻子做的饭。他的死亡诊断书上写的是：全身营养不良，死亡。为什么呢?因为他不吃护士送来的饭，不吃任何亲朋好友送来的饭，包括王浩，是唯一能接近他的学生，都不行，他不吃饭。其实，他妻子当时因病住院，一个多月的时间，就把丈夫给饿死了。数学家真可怜!当然了，我指的是有灵魂的数学家。
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现在我们回到布劳威尔：凡可描述之事，一定是有限的。可是，有限的数学行为以及数学的内容，却与神圣的位格勾连着。我们不能够通过有限次的描述，理性地理解上帝或无限。我们只能够通过“顿悟”或“直觉”，通过这种特殊的行为，才从有限跨入无限，但不可描述。这就是神秘主义，神秘主义数学观，这里有一种神秘感。其实，如果我们考察思想史，我们会发现，神秘主义贯穿着数学和社会科学的一系列重大发现。每一位出色的社会科学家，我觉得，都应当接受这种关于直觉和判断力的训练。接受这一训练的最便捷的途径，我劝过我在北京大学的学生们，如果他们打算做我的学生，我劝他们到纯数学系，不是应用数学系，去接受这种训练。我并不是看不起应用数学家，而是觉得应用数学，它的专业方式不对，不能够培养直觉主义和神秘感。
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1928年，希尔伯特终于意识到布劳威尔声望太高，对公理主义数学学派构成了严重威胁，并且这一威胁与日俱增。于是，他不顾爱因斯坦的反对——爱因斯坦是一位神秘主义物理学家——将布劳威尔从数学年鉴编委会撤职。这一举动遭到布劳威尔的激烈抵抗，因为希尔伯特的行动是违反程序正义的。但是在主流数学界，希尔伯特威望太高，最终他成功了。布劳威尔退出了数学年鉴编委会。一系列的政治斗争，终于摧垮了布劳威尔的心智。他心智耗竭，精神崩溃。
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这故事的另一视角，发生在1926年。那一年，布劳威尔已经濒临精神崩溃，独自居住在荷兰的一个乡村里，吃素，或许还做瑜伽，而且不说话。那一年，小门格尔（Karl Menger）离开了布劳威尔，返回维也纳大学教授数学。
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谁是小门格尔呢?我们知道，老门格尔（Carl Menger）是奥地利学派经济学的创始人，在经济学，在社会科学，名气太大了，所以这里就不介绍了。他的儿子，小门格尔，是数学家。拿到数学博士学位之后，他就投奔了布劳威尔。但是他在给友人的一封信里写过，他终于无法忍受布劳威尔的神秘主义的生活方式，并且布劳威尔有一次搜查了他的日记。这样，他就离开了那个怪异的老头儿，返回维也纳大学，任数学教授。1930年，小门格尔发表了一篇论文来反对他的老师的直觉主义立场。在这篇论文里，他提出了一种被称为“意向主义”的数学立场。记住，“意向”是今天出现频率相当高的一个词，它是现象学的一个概念。小门格尔的意向主义的数学立场是什么呢?数学公理的意义，小门格尔认为，不在于这些公理本身的内容，而在于它们所意向的内容。那种意向，如果它所意味的那些事情是有意义的，是可以改变我们所感受的世界图景的，那么我们就应当接受这些公理。
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小门格尔是维也纳小组最活跃的数学家和思想家。我们知道，中国的洪谦老先生，是从维也纳小组毕业回国的，他现在已经去逝了，他的老师是什里克（Moritz Schlick），数理逻辑学家，什里克的前任，就是小门格尔。这篇论文在维也纳小组宣读的时候，题目是“维特根斯坦、布劳威尔和维也纳小组”，试图代表维也纳小组的立场。但是他宣读了这篇论文之后，遭到了小组的大多数成员的激烈反对。只有一个成员，他一直沉默着。是谁?哥德尔。
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哥德尔沉默。为什么呢?1931年，在小门格尔宣读那篇论文的一年之后，哥德尔发表了他的“不完备性定理”。哥德尔保持沉默，从这一事实我们可以看出，在小门格尔的意向主义数学立场里，包含了皮尔士的逻辑立场，即实用主义哲学，把意向当做可体验的这样一种实用主义哲学的看法。
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直觉主义与意向主义有什么区别呢?布劳威尔的直觉主义，只承认有限建构的逻辑，把无限留给直觉。最关键的数学事实是什么?我们的脑，从许多有限的表达中，有能力顿悟到无限。这是与数学根本问题密切相关的事实。在这一点上，意向主义继承了直觉主义，它沿着公理所指的意向所作的推演和极限，取代了直觉主义者的顿悟。
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让我举一个简单的例子：某一函数F在闭区间[0，1]上的连续性，怎样表述呢?我们知道，必须以离散方式来表述。我们假设数学分析的“ε-δ”语言是有效的，然后用这一语言所采用的有限的量，来表述无限的连续性概念。具体而言，这一语言这样表述这件事：“对任意给定的实数ε（ε＆gt;0），存在实数δ（δ＆gt;0），使得当F（y）的自变量y在点x∈[0，1]的δ邻域内，就有F（y）在F（x）的ε邻域内。”
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这里，没有出现任何无限的集合，故而这一定义是符合数学直觉主义的。但是请注意这里出现的两个“任意给定的实数”。所谓“任意”，就是要借助于我们的数学想像，激活我们的直觉能力，让我们能够想像这两个趋于无穷小的实数的状况。你可以运用直觉，其纯粹形态就是顿悟。你也可以运用意向，沿着这两个实数的无穷小方向，体验它们的含义。前者是布劳威尔的方法，后者是小门格尔的方法。我觉得它们之间的区分不很严重。
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