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一
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当第二次世界大战临近结束的时候，经济学理论研究进入了一个急剧数学化的阶段，这给我们的学科带来了深远的影响。这个阶段的一些主要特征表明，它既是空前的，也是绝后的。对此进行评价需要一种多维度的分析，既要承认数学化对经济学发展所作的贡献，又要看到这种倾向同时也加剧了经济学家之间的紧张关系。
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经济学理论数学化在过去半个世纪中的进程可以从该领域重要刊物每年发表的论文总页数中窥见一斑。《计量经济学》（Econometrica）和《经济研究评论》（Review of Economic Studies）从1933年创刊到1959年，论文总页数由1935年超过700页的最高点下降到1943—1944年间不足400页的最低点。但是1944年标志着爆炸性增长的开端。除了原来两种主要刊物之外，又陆续新增了：《国际经济学评论》（1960，International Economic Review）、《经济学理论杂志》（1969，Journal of Economic Theory）、《数理经济学杂志》（1974，Journal of Mathematical Economics）。在1977年，上述5种刊物发表的论文的总页数总计超过5 000页。从1944年到1977年，每9年论文总页数就要翻一番。从这个角度来看，1944年是数理经济学发展史上一个显著的转折点。也正是在这一年，约翰·冯·诺伊曼和奥斯卡·摩根斯顿发表了他们的名著《博弈论与经济行为》（von Neumann and Morgenstern，1944）。
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就在数理经济学领域的专业刊物以不可持续的快速度增长时，《美国经济评论》（American Economic Review）也在经历一个急剧的转变。在1940年的第30卷中，只有不到3%的篇幅可以勉强算作含有初步的数理表达形式。50年以后，在其第80卷中将近40%的篇幅里出现了更精致的数理表达形式。
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与此同时，根据美国最近一次的研究和教学测评（Jones et al.，1982），学术水平被评为“优异”和“较强”的前13个经济学院系中，经济学家的“数学化”表现得尤为明显。计量经济学会（Econometric Society）每年都要通过选举，从他们的国际同行中接纳一些新会员，这个数目由1944年的46人增加到1990年的422人。在上述13个经济学院系中，计量经济学会成员在教授中的比例也由1940年不足1%的水平迅速提高到目前接近50%的程度。在其中被评为学术水平最高的8个经济学院系中的6个院系，这一比例已经达到或超过了50%。因而“数学化的”经济学院系也意味着，它们在录取学生时，会要求学生掌握其认为的基本数学水平，要求具备或强烈推荐具备微积分和线性代数的知识。
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一些学术荣誉也额外强调了数学目前在经济学研究中的作用。美国人文与科学院（American Academy of Arts and Sciences）经济学部的152名成员中，有87人是计量经济学会（Econometric Society）会员。美国国家科学院（National Academy of Sciences of the United States）经济学部的40人中有34人是计量经济学会会员。从1969年至1990年，共有30人获得诺贝尔经济学奖，其中25人是计量经济学会会员。从1947年美国经济学会（American Economic Association）授予保罗·萨缪尔森约翰·贝特斯·克拉克奖开始，共有21人荣获这一殊荣，而其中20人是计量经济学会会员。在世的26名前美国经济学会主席中也有13人是计量经济学会会员。
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有人或许会怀疑如此统计的意义，也有人或许会质疑对上述数字的解读。但是这一事实为人所共知，而这一迅猛增长也并非模棱两可。这些数字表明，经济学数学化的广度之广，以及相伴随的我们领域在过去50年的变化深度之深。
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通过比较在1940年和在1990年为跟上经济学理论各方向的不断发展所需要的数学水平，也可以感知到这种变化的深度。50年以前，本科生基础的数学水平差不多就足够用了；而今天，接受研究生程度的数学训练却是必需的。如果不满足于只是作为追随者，而是希望主动参与某一方向的技术前沿，那就需要更高水平的专业数学知识。在前面提到的13所大学经济学院系中，有几个院系的一些教员就其博士学位而言其实就是数学家。他们当中有4个人在过去25年中还担任过系主任。如果要选出几个数理经济学的精神领袖的话，他们当中最杰出者当首推约翰·冯·诺伊曼，当时最卓越的数学家之一。
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在这一发展过程中，数理经济学不断重新定义其研究领域。新的领域不断被开拓，而曾经的前沿话题则成为研究生——如果不是本科生——经济学理论课程的标准内容。
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二
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在过去50年之前，理论物理学一直是经济学理论试图效仿却无法达到的理想。在过去50年中，这种追求成为推动经济学理论数学化的一大动力。
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物理学的卓越理论能以极其经济的方式涵盖极其广阔的现象，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦的理论（Maxwell，1865）就是一个很好的例证，他用八个方程就描述了电磁场。那是在19世纪中叶，也正是数理经济学出现和成熟的时期。物理学之所以能够做到这种高度简洁大概要归功于物理学和数学几个世纪以来的特殊关系。物理学给数学提出一些开放性问题，也从数学家那里得到物理学理论问题的现成答案，那是早先数学家在他们的抽象世界中得到的。有时这两个学科研究间的因果关系并不容易说清，偶尔会有科学家的贡献推动两个学科的发展却无法作出明确区分。
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物理学和数学之间的特殊关系对双方都益处多多，但物理学并没有完全屈从于数学以致走向僵化的逻辑严密性。实验的结果和对现实世界的观察是物理学的基础，它们不断检验着物理学的理论框架，不时对数学推论得出的教条提出有力的质疑。
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在这些方面，经济学理论不可能沿袭物理学理论发展所提供的模式。超导超大型加速器的建造费用估计将达到1010即100亿美元（Hamilton，1990；Science，1990），几乎是最昂贵的物理学科学仪器。相形之下，经济学的实验就显得本小利微。由于缺乏一个充分可靠的实验基础，经济学理论研究就不得不遵循逻辑论证的规则，必须消除任何的内在不一致。如果一个推理允许自相矛盾，那么它就是无用的，因为从中可以确定无疑且快速地推导出任意结论来。
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正是在其数学形式中，经济学理论中可能的逻辑错误会被允许详尽检查。由此达到的严密性与20世纪30年代晚期普遍接受的推理分析标准形成鲜明对比。倘若以此来衡量，在30年代发表在《计量经济学》和《经济研究评论》上的文章很少能够通过这一严格测试——剥去所有的经济学阐释，看其数学基础框架是否能够成立。近来经济分析中更强的逻辑性，要归功于现代经济学理论的快速发展。这也使得研究者能够在其前辈的基础上进一步发展他们的成果，同时也促进了这一积累过程。
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然而，形成一个大统一的理论体系仍然是经济学力所不及的，尽管这一直吸引着一大批理论家。每个理论家各自处理特定范围内的现象，试图对此进行理解和解释。一旦理论获得某种公理化的形式，其明确的假定就为它划出适用范围，使得任何不当的越界行为显露无遗。这些理论中有些是以一种全面的观点来分析经济系统，为解决一些全局性问题提供了洞见。例如，价格会使资源达到有效利用，平衡商品的供需，防止形成不稳定的联盟。针对上述每一种情况，都必须给出理论上的解释。那些不能满足所有经济观察结果的假定在现实中就逐渐被人们放弃。
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一种试图涵盖经济中大量商品、同样大量价格、众多参与者及其相互作用的统一理论，必须借助数学模型的帮助。经济学家已经成功建构起了这样一个模型，这是因为作为核心概念的某种商品的数量具有一种天然的线性结构。因此，可以通过列举每一种商品投入与产出的数量（相反的符号区分投入和产出）来对一个经济参与者的行为进行描述。这种列举也可以看成是一系列在线性商品空间中点的坐标。类似地，一个经济的价格系统可以看做是一系列在线性价格空间中的点，而这个线性价格空间是线性商品空间——其维度是商品的数目——的对偶空间。
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在这两个线性空间中，数学令人惊叹的发展便有了用武之地，起先是基础的微分和线性代数，其后是更多数学提供的强力技巧和基础结论。这样，价格的三个作用可以借助于基本的数学定理得到阐述：其一，资源的有效利用是凸分析的结论；其二，平衡商品的供需是不动点理论的结论；其三，防止形成不稳定的联盟是积分理论和非标准分析的结论。在这三个例子中，从发现有关数学定理到应用它们到经济理论中的时间间隔越来越短。非标准分析理论发明与应用的间隔尤其短，20世纪60年代初亚伯拉罕·罗宾斯(2)创立了这种方法，1972年就由唐纳德·布朗和亚伯拉罕·罗宾斯（Brown and Robinson，1972）应用到经济学研究中。
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在上述价格的三种作用中，可以以最后一种也是最新发展的为例，略加论述。当每个经济参与者对经济行为结果的影响都是无足轻重时，竞争就是完全的。然而，这些经济参与者对经济行为结果影响的总和却是举足轻重。正是为了加总这些可以忽略的个体影响以便得到不可忽略的总体影响，人们发明了积分。在这个意义上，把积分应用于对经济竞争的研究是自然而然的。但应用积分的前提是经济参与者集合非常大，大过整数集。在描述经济数据时，把经济参与者集合看做是在实数区间上的一系列点的办法由来已久。在罗伯特·奥曼（Aumann，1964）之后，这种方法也在经济学理论中为人所熟悉。奥曼指出，在由大量无足轻重的个体构成的纯粹交易经济中，当且仅当所有个人都是基于价格系统作出决策时，不稳定的联盟无法形成。
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凸集（集合中任意两点之间的直线段都属于这个集合）的概念在1964年以前一直被置于经济学理论的核心位置。在引入积分概念以后，凸集概念在经济竞争的分析中被赋予新的应用：如果一个人在商品空间中与任意一个经济人集合中的每个人相联系，如果他把由此组成的那些子集加以平均，得到的集合就必然是凸性的。(3)于是价格的上述三个作用就都可以通过平均过程导致的集合的凸性得到解释。由这些无足轻重的经济参与者加总得到商品空间是凸集，这一重要而简明的经济学理论洞见正要归功于积分理论。
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能得出类似这样洞见的经济学家就属于应用数学家，分享与应用数学家相同的价值取向。对他们而言，数学是一种语言、一种方法，使其能够对高度复杂的经济系统进行有效的研究。同时，数学也是一位要求多多的主人，它一刻不停地要求更弱的假定条件、更强的结论、更广的一般性。一旦采用了数学形式，经济学理论就必然要对这些要求作出回应。因此，经过一个世纪略多的时间之后，当对一般均衡理论（Walras，1874—1877）和经济的核心（Edgeworth，1881：34—38）的系统阐述与新近的相关研究放到一起时，经济学理论在追求一般性上的成就显露无遗。对此，《新帕尔格雷夫经济学大辞典》是个很好的介绍和文献导引（Eatwell et al.，1987—1989）。现在，瓦尔拉斯理论中的消费者和生产者已经放宽了很多限制条件，而艾奇沃思的“两个消费者和两种商品”世界也得到了极大的扩展。
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同时，数学也施加了另一个律令——简洁化。它无止息地要求更简短明晰的证明，不断寻求可以投入其中的理论框架。经济学理论在这一努力过程中，有时候被迫同时追求更一般和更简洁，而不是相反。一届又一届，学生们学习消费者理论中两个商品的边际替代率递减的情境以及推广到多种商品时的扩展。一个更一般而又更简洁的例子是，在商品空间中，相较于某个点，偏好的其他点的集合是凸集。福利经济学则提供了另一个例子。其主要定理之一正是对亚当·斯密（Smith，1776）阐述的原理的公式化，即在一个经济体中，当所有参与者相对于一个价格系统都处于均衡状态时，那么他们对公共资源的运用就达到了最优。这一定理的证明（Arrow，1951）变得如此简洁，都无须使用任何数学符号。同时，它也是极其一般化，将经济学理论的两个基本概念联系起来而没有使用假设条件。
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经济学理论在努力实现其众多目标的过程中，也借助了高度抽象化的帮助。在此，偏好理论又是一个很好的例子。曾经有大量努力花费在求解偏好的加总问题上，但其实可以绕过这个问题，通过将视线从商品空间转换到更抽象的由一对对商品点构成的空间，我们可以实现进一步的简洁化。在这一维数是商品数目两倍的空间中，那些相互间无差异的一对商品点被认为是形成了一个光滑的（超）曲面。通过抽象而实现一般性的另一个例子是商品的概念。在尚未被加以具体阐述的时候，它是公理化的经济学理论中的基础概念。但对它的新阐释，可以在无须变动原有理论结构的情况下大大扩展理论的应用范围。比如，通过对商品概念的简单阐述，让商品或服务在任意两个经济参与者之间的交换要取决于交换导致的状况，使得阿罗（Arrow，1953）可以把确定性下的经济学理论扩展为不确定性下的经济学理论。金融市场理论就深受不确定性理论的影响，而且人们在金融市场上的行为也不能不受其影响。最后，又例如一般均衡的存在问题，这被认为是经济学理论中最抽象的向题之一。20世纪50年代早期提出的各种均衡解为赫伯特·斯卡夫的均衡算法（Scarf，1973）以及其他几种应用一般均衡理论分析的进展（Scarf and Shoven，1984）铺平了道路。在这个例子中，经济学理论的抽象不仅导向了对高度一般化的基础问题的研究，而且也导向了在广泛领域的应用。
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