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这激起了萨缪尔森的兴趣，他很快便证明布朗的偏好不一致，按经济学家的标准衡量，布朗的行为是非理性的。具体来说，在一个附加条件下，萨缪尔森证明，如果某人不愿意打一次赌，那么也不应该同意打多次赌。这个附加条件是，他不情愿打一次赌，是因为他对较小的财富变化不敏感，确切地说，即使打很多次赌，他对任何输赢也是不敏感的，因而也不情愿打很多次赌。在本例中，布朗最多输10 000美元（即打赌100次，而且全输了），最多赢20 000美元（即打赌100次，而且全赢了）。如果布朗的退休金很多，他也经常获取或损失这么多钱，我们就可以有把握地做出预测，如果布朗突然获取或损失5 000美元，他对萨缪尔森的回答仍会是一样的。[4]
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萨缪尔森的逻辑是这样的：假设布朗同意打100次赌，但在打了99次赌以后，萨缪尔森问他是否想停止，也就是说，布朗可以选择打或不打最后一次赌。布朗会怎么做呢？我们知道他不喜欢只打一次赌，所以他会选择拒绝。现在，假设打了98次赌以后，我们告诉他最后两次赌博都是可以选择打或不打的。布朗会怎么做呢？作为一位训练有素的经济学家，他会使用倒推法。他知道，如果可以对第100次赌博进行选择，他会拒绝，并意识到第99次赌博也是单一可选的，所以他也会拒绝。但是，如果你继续用这种逻辑进行推算，结果就是布朗也不会打第一次赌。所以，萨缪尔森的结论是：如果你不愿意打一次赌，就也不会愿意打很多次赌。
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这一结果十分惊人。如果输掉100美元的概率是50%，尤其是在20世纪60年代初，100美元相当于现在的750美元，拒绝打赌其实是合理的。愿意为玩硬币而承担输钱风险的人并不多，即使赢来的钱会是输掉的钱的两倍，也是如此。虽然100次赌博的期望收益看起来很有吸引力，但萨缪尔森对拒绝打赌100次的推理也是无懈可击的。他在另外一篇简短的论文中再次阐述了这一观点：“如果某件事做一次不划算，那么做两次、三次……多少次也都是不划算的。”[5]这是什么意思呢？
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萨缪尔森不仅指出他的同事犯了一个错误，还在一篇论文的题目中给出了解释，即“风险与不确定性：大数谬误”（Risk and Uncertainty: A Fallacy of Large Numbers）。在萨缪尔森看来，布朗接受100次赌博是一个错误的选择，原因在于布朗没有理解“大数定律”（the law of large numbers）这一统计学原理。大数定律指出，如果你重复打赌的次数足够多，结果将与期望收益十分接近。如果你抛1 000次硬币，正面朝上的次数应该接近500次。所以，布朗认为，若重复打赌100次，他就不大可能会输钱，这种想法是正确的。事实上，他输钱的概率仅为1/2 300。萨缪尔森认为布朗的错误在于他忽视了输很多钱的可能性。如果你只赌一次，有50%的概率会输，但最多输100美元。如果赌100次，虽然输的概率很小，但你必须承认确实有极小的概率会输掉10 000美元，即抛硬币100次都是背面朝上。
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我和什洛莫对这个问题的看法是，萨缪尔森只说对了一半，即他正确指出他的同事布朗犯了一个错误。在萨缪尔森看来，拒绝一次赌博但却接受很多次并不符合逻辑。但是，我们认为布朗的错误其实在于他拒绝了一次性赌博，原因正是狭窄框架问题。萨缪尔森认为布朗接受100次赌局是错误的选择，平均来说，布朗如果接受100次赌局，期望收益将是5 000美元，他输钱的概率很小，输很多钱的概率更小。具体而言，输钱超过1 000美元的概率大约为1/62 000。我和雷宾曾在“反常现象”专栏中写过这方面的文章：“如果拒绝这种赌局，负责任的律师会正式宣布你有精神病。”如果拒绝100次赌博是愚蠢的行为，那么萨缪尔森的论点正好应该反过来，一次赌博也不应该拒绝。我和什洛莫把这种现象称为“短视型损失厌恶”（myopic loss aversion）。要想接受100次有吸引力的赌博，必须先接受第一次赌博。只是因为把每一次赌博分开来看，才落入了拒绝一次性赌博的圈套。
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这种逻辑也适用于投资股票和债券。让我们回想一下股权溢价之谜，如果人们预期股票的回报率每年都不少于6%，又为什么要持有那么多债券呢？我们的回答是，他们在投资上过于短视。如果股票的投资回报率不低于6%，从长期来看，比如二三十年，股票收益低于债券的概率很小，就像在萨缪尔森最初设定的100次赌博中输钱的概率一样（虽然概率可能没有那么低）。
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为了验证这一假设，我和什洛莫邀请南加州大学的非教学科研工作人员做了一次实验。这些员工加入了退休金计划，他们必须决定退休金的投资方式。在美国，这种退休金计划常称为401k计划，其名称源于税法法典相关条款的序号。我们告诉每位实验对象，退休金只有两种投资方式，一种风险较大但预期回报率较高，另一种风险较小但预期回报率也较低。同时，我们给实验对象看了两种基金的回报率走势图，图表是在过去68年的回报率基础上制作的。风险较大的基金是一些指数型基金，而风险较小的基金是债券基金。但为了避免实验对象对股票和债券有先入为主的想法，我们并没有告诉他们这一细节。
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我们这次实验的焦点在于回报率的呈现形式。如图9所示：第一种情况，实验对象看到的是一年的回报率走势图，第二种情况，实验对象看到的是模拟出的30年回报率走势图。第一种情况其实和人们每年看一次退休金对账单一样，而另一种情况则与人们为期30年的长期投资策略一样，投进去后似乎就忘到脑后了。注意，两幅图表使用的数据完全一样。也就是说，在经济人的眼中，这两幅图表之间的差异属于看似无关的因素，不会影响他们的选择。
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图9
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资料来源：贝纳奇和泰勒（Benartzi and Thaler），1999
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对普通人而言，数据的呈现方式对他们影响很大。仅能看到一年回报率走势图的实验对象选择将40% 的钱投到股票中，而那些看到30年的年均回报率走势图的实验对象则将90%的钱投到了股票中。萨缪尔森认为，人们过高地估计了重复性对降低风险效应的影响。事实上，当人们看到真实数据后，他们更喜欢风险大的投资方式。
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从这一分析中我们可以看出，人们越是经常查看自己的投资收益，越不愿意承担风险，原因在于，查看的次数越多，看到的损失也越多。实际上，我、卡尼曼和特沃斯基也研究了这个问题，由此产生的是唯一一篇我们三人合写的论文。卡尼曼当时的学生艾伦·施瓦茨（Alan Schwartz）也是合著者之一，他现在是位于芝加哥的伊利诺伊大学的医疗决策教授。那篇文章于1997年刊发在纪念特沃斯基的《经济学季刊》特刊上。
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那篇论文记录了一项实验，实验对象是加州大学伯克利分校的学生，他们在实验中的工作是扮演大学捐赠基金的投资经理，负责基金的投资事宜。当然，他们只是扮演投资经理的角色，但实验结束后他们能拿到多少钱确实与他们的投资情况有关。他们的收入将在5美元到35美元之间，在不到一个小时的时间里可以赚到这样一笔钱，对大学生来说已经不少了。正如之前的实验一样，实验对象只有两种投资策略可选择，一种是高风险高回报，另一种是低风险低回报。在这次实验中，我们的变量是实验对象查看投资结果的次数。有些实验对象在实验模拟出的一年时间里查看了8次，有些实验对象则一年看一次或每五年看一次。正如短视型损失厌恶理论所预测的，查看投资结果次数越多的人敏感性越高。那些一年查看8次结果的实验对象仅将40%的钱投资到股票中，而一年只看一次的实验对象则将70%的钱投入股票。
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前几年，以色列的一次政策变化就是现实生活中的一个同类实验。2010年，以色列负责监管退休基金的政府部门改变了公布投资回报率的方式，芝加哥大学布思商学院的博士生玛雅·沙顿（Maya Shaton）对此做了一项调查。此前，当投资者查看投资情况时，他们看到的第一个数字是最近一个月的投资回报率，发布方式改变后，投资者看到的是过去一年的回报率。正如短视型损失厌恶理论所预测的，在此实验之后，投资者将更多的资金投到了股票中。他们的换手率亦随之降低，不再轻易将股票转换成最近回报率较高的基金了。总而言之，这是一次非常明智的政策调整。
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这些实验证明，投资者查看投资回报率的次数越多，越不愿意承担风险。在有关“短视型损失厌恶”的那篇论文中，我和什洛莫试图用前景理论和心理账户来解释股权溢价之谜。我们借助股票和债券的历史数据，询问投资者每年要查看多少次投资收益才会认为股票和债券没有分别，或是希望投资组合中股票和债券各占一半的比例。我们得到的答案大概是一年一次。当然，投资者查看投资收益的频率各有不同，但一年一次是非常可信的。人们每年做一次纳税申报，同样，退休金计划和基金会也要定期向投资者汇报情况，但年报可能是最重要的。
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通过分析我们可以得出一点，股权溢价或者投资者们所要求的股票投资回报率很高，是因为投资者查看投资收益的频率过高。凡是当有人让我给他们提供一些投资建议时，我都会告诉他们要进行股票占比很高的多元化投资，尤其是年轻人，而且在读报纸时，除了体育版不要读其他内容。字谜游戏也可以做一做，但绝对不要看有线电视频道的财经新闻。[6]
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在罗素·赛奇基金会那一年，我和科林常常一起坐出租车。有时很难打到车，尤其是在天气寒冷或市区有大型会议召开的时候。我们偶尔会和出租车司机交谈，问他们是怎么决定每天工作几个小时的。
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大多数司机都给出租车公司打工，公司往往拥有很多辆出租车。司机每天可以租车12个小时，一般从早上5点到晚上5点或是从晚上5点到次日早上5点。[7]司机租用公司的车需要支付一定数额的钱，并且每天还车时要把油加满。除去这些费用，他挣到的车费和小费都归自己所有。我们问司机：“你是怎么决定每天几点收工的呢？”在纽约市一天开12个小时的车会很疲劳，还要随时注意有没有人招手打车。有些司机告诉我们，他们采取的是目标收益策略。扣除交给公司的钱和油钱后，他们会设定一个目标，每天的目标达到后他们就收工。
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科林、乔治·勒文施泰因和我一直在考虑，可以围绕“司机工作有多么卖力”这个问题做一项研究，我们称其为“卖力”研究。我们就此讨论了一段时间，并且在实验室做了几次实验，但我们必须找到一个合适的研究角度。最终，我们决定研究出租车司机的真实决策。
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所有司机都会将每笔车费记在一张纸上，俗称“行程单”，上面记录的信息包括接人的时间、目的地和车费，以及司机还车的时间。科林通过某种渠道找到了一家出租车公司的经理，他同意让我们复印一些行程单。随后，我们又从纽约市出租车管理协会复印了很多。因为数据分析十分复杂，所以我们邀请琳达·巴布科克加入我们的研究项目。巴布科克是一位精通计量经济学的劳动经济学家，也是罗素·赛奇夏令营的毕业生。
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我们研究的核心问题是，司机会不会在可获得更高的有效薪水的情况下工作更长时间。首先，我们要证明的是，有些日子司机的有效薪水较高，而有些日子其有效薪水较低；其次，通过当天早些时候的收入可以预测晚些时候的收入。这显然是正确的。在忙碌的日子里，司机每小时会挣到更多的钱，如果他们多干一小时，预期收入自然会更高。之后，我们开始研究核心问题，并得出了令经济学家大吃一惊的结果：有效薪水越高，出租车司机工作的时间反而越短。
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基本的经济学理论告诉我们，需求曲线向下倾斜而供给曲线向上倾斜。也就是说，薪水越高，劳动力的供应量越多，但我们发现现实的情况恰恰相反。在这里，我们有必要阐明研究结果究竟说明了哪些问题，以及没有说明哪些问题。像其他经济学家一样，我们也认为如果出租车司机的薪水翻番，就会有更多的人想以此为生。如果我们某一天很忙，那么决定在这一天休息或去海边度假的人肯定很少。即使是行为经济学家，也会认为物价上涨时应该少购物，薪水上涨时应该多干活，但是，如果司机决定在这一天出车，那么他在思考当天要工作多长时间时，就会陷入狭窄框架的陷阱。他们只会狭隘地关注当天的收入，这会导致他们犯下忙碌的日子少干活、清闲的日子多干活的错误。[8]
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