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记为
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这里v(p,y)被称为是间接效用函数。为什么叫间接效用函数?因表达式(2.1)的效用不是被表达为消费计划x的函数,而只是价格p与收入y的函数。即我们如果知道了消费者有多少钱,知道了外在的相对价格关系,如让消费者自己去解效用极大化问题,即可知道其效用极大化的点在什么地方。从这个意义上说,消费者的最大的效用可以由y与p来间接地加以表达。
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图2.3 价格变动与收入变动产生最优消费量变动
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为什么要讲间接效用函数?因为,有了间接效用函数,那么,控制消费者的消费行为实质上可以由控制价格p与控制收入y来实现。控制p,实质就是价格政策或价格改革;控制y,实质便是收入政策的内容。可见,间接效用函数的概念,有着明显的政策上的应用价值。
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二、间接效用函数的性质
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【定理】 如果直接效用函数u(x)在上是连续且严格递增的,那么间接效用函数
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一定是:
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(1)在上是连续的;
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(2)关于(p,y)是零次齐次的;
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(3)对于y严格递增;
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(4)对于p严格递减;
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(5)满足罗尔恒等式(Roy’s identity):即,如v(p,y)在点(p0,y0)是可导且则有
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证明:
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(1)是从图2.2与图2.3可以看出的。表示价格的定义域,下标“++”是指严格为正,没有一维价格为零,n表示有n维价格。R+表示收入的定义域,收入可以为零。表示预算集的定义域。性质1说明当收入与价格有微量的变化时,极大化了的效用也是会有微量的变化的。理由是,如果u(x)是连续的,那么其极大化(一阶导数)了的值一定也是连续的。
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(2)需证明对于所有t>0,都有v(p,y)=v(tp,ty),即v(tp,ty)=t0v(p,y)=v(p,y)。因为v(tp,ty)等于是所以,性质得证。
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