1704633570
记为
1704633571
1704633572
1704633573
1704633574
1704633575
这里v（p，y）被称为是间接效用函数。为什么叫间接效用函数？因表达式（2.1）的效用不是被表达为消费计划x的函数，而只是价格p与收入y的函数。即我们如果知道了消费者有多少钱，知道了外在的相对价格关系，如让消费者自己去解效用极大化问题，即可知道其效用极大化的点在什么地方。从这个意义上说，消费者的最大的效用可以由y与p来间接地加以表达。
1704633576
1704633577
1704633578
1704633579
1704633580
图2.3 价格变动与收入变动产生最优消费量变动
1704633581
1704633582
为什么要讲间接效用函数？因为，有了间接效用函数，那么，控制消费者的消费行为实质上可以由控制价格p与控制收入y来实现。控制p，实质就是价格政策或价格改革；控制y，实质便是收入政策的内容。可见，间接效用函数的概念，有着明显的政策上的应用价值。
1704633583
1704633584
二、间接效用函数的性质
1704633585
1704633586
1704633587
【定理】 如果直接效用函数u（x）在上是连续且严格递增的，那么间接效用函数
1704633588
1704633589
1704633590
1704633591
1704633592
一定是：
1704633593
1704633594
1704633595
（1）在上是连续的；
1704633596
1704633597
（2）关于（p，y）是零次齐次的；
1704633598
1704633599
（3）对于y严格递增；
1704633600
1704633601
（4）对于p严格递减；
1704633602
1704633603
1704633604
（5）满足罗尔恒等式（Roy’s identity）：即，如v（p，y）在点（p0，y0）是可导且则有
1704633605
1704633606
1704633607
1704633608
1704633609
证明：
1704633610
1704633611
1704633612
1704633613
（1）是从图2.2与图2.3可以看出的。表示价格的定义域，下标“＋＋”是指严格为正，没有一维价格为零，n表示有n维价格。R+表示收入的定义域，收入可以为零。表示预算集的定义域。性质1说明当收入与价格有微量的变化时，极大化了的效用也是会有微量的变化的。理由是，如果u（x）是连续的，那么其极大化（一阶导数）了的值一定也是连续的。
1704633614
1704633615
1704633616
1704633617
（2）需证明对于所有t>0，都有v（p，y）＝v（tp，ty），即v（tp，ty）＝t0v（p，y）＝v（p，y）。因为v（tp，ty）等于是所以，性质得证。
1704633618
1704633619
