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（3）由于这里中的x是极大化了的消费计划x*（p，y），即x*是参数p与y的函数。按envelope theorem（包络定理），对v（p，y）求关于y的偏导，只要对其极大化了的求关于y的导数即可。而的表达式是由
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推导的
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并将x*与λ*代入L（·）而成的，所以
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由于在里，（由u（·）严格递增保证），又由于所以pi严格为正，（i＝1，2，…，n）。这样，
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（4）多加一个假设：用与（3）相同的方法，可证
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由于λ*>0，所以
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（5）由（3）与（4），可得
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例1：从直接效用函数0≠ρ<1中，推出间接效用函数v（p，y），并验证性质（5）。
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解：由第一讲中例1的解
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这里我们可以把上述解式代入u（x1，x2）的原式写出