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（4）对于p严格递减；
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（5）满足罗尔恒等式（Roy’s identity）：即，如v（p，y）在点（p0，y0）是可导且则有
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证明：
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（1）是从图2.2与图2.3可以看出的。表示价格的定义域，下标“＋＋”是指严格为正，没有一维价格为零，n表示有n维价格。R+表示收入的定义域，收入可以为零。表示预算集的定义域。性质1说明当收入与价格有微量的变化时，极大化了的效用也是会有微量的变化的。理由是，如果u（x）是连续的，那么其极大化（一阶导数）了的值一定也是连续的。
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（2）需证明对于所有t>0，都有v（p，y）＝v（tp，ty），即v（tp，ty）＝t0v（p，y）＝v（p，y）。因为v（tp，ty）等于是所以，性质得证。
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（3）由于这里中的x是极大化了的消费计划x*（p，y），即x*是参数p与y的函数。按envelope theorem（包络定理），对v（p，y）求关于y的偏导，只要对其极大化了的求关于y的导数即可。而的表达式是由
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推导的
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并将x*与λ*代入L（·）而成的，所以
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由于在里，（由u（·）严格递增保证），又由于所以pi严格为正，（i＝1，2，…，n）。这样，
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（4）多加一个假设：用与（3）相同的方法，可证
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