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因此
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例2：由求支出函数e（p，u），并且验证谢泼特引理。
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解：
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1704633827
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拉氏函数为
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1704633832
1704633833
1704633834
1704633835
1704633836
即
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1704633838
代（E.4）进（E.5），有
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1704633841
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运用可以得出
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1704633846
1704633847
1704633848
1704633849
将（E.7）代入（E.5），有
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1704633853
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（E.7）与（E.8）只取决于p与u，所以，它们是关于x2与x1的希克斯需求函数。
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1704633856
我们将（E.7）与（E.8）代入支出函数问题的目标函数，就可得到
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公式（E.9）即为我们所求的支出函数，以此为出发点，对e（p1，p2，u）求关于p1的偏导，就可得到同样，我们可以得到从而证实了谢泼特引理。
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例3：设需要满足的效用水平是效用函数形式为求支出函数。
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解：这一问题的拉格朗日表达式为