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四、举例（最优广告投入）
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例4：设消费者对某产品的需求量D取决于产品的价格p与广告a（advertising level）的宣传效果，即q＝D（p，a）。又设厂商提供该商品的成本是产量q的函数，C（q）＝C（D（p，a）），于是厂商的利润π就等于总收入减去C（D（p，a）），再减去广告投入a。利润函数可以写成
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厂商的选择变量为价格p与广告投入a。为使利润极大化，使π对p与对a分别求一阶导数，并令一阶导数为零，我们可以得到
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以及
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我们从弹性定义知，需求的自价格弹性εp是
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又定义一个新的弹性：需求的广告弹性（需求量相对变化对广告投入相对变化的比率）为
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我们从（3.29）式可得
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从（3.30）式中得
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从（3.32）式与（3.33）式，可得
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于是
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式（3.35）是我们得到的结果，即广告投入a占总销售额（pq）的相对比重应等于需求的广告弹性对需求的价格弹性之比。
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