1704635190
1704635191
请看图4.4，消费者面临两种不同的收入结果w1与w2，u（w1）＝R，u（w2）＝S，u（g）＝P1u（w1）＋P2u（w2）＝P1R＋P2S，如果则u（g）＝T，这是期望的效用水平。如果事先知道必有相当于的收入，该收入无风险，则对应的效用水平为u（E（g））＝C>T。
1704635192
1704635193
1704635194
1704635195
1704635196
图4.4 确定性等值（CE）与风险升水
1704635197
1704635198
确定性等值“CE”（certainty equivalent）是一个完全确定的收入量，在此收入水平上所对应的效用水平等于不确定条件下期望的效用水平，即CE满足
1704635199
1704635200
1704635201
1704635202
1704635203
风险升水（risk premium）是指一个收入额度P，当一个完全确定的收入E（g）减去该额度P后所产生的效用水平仍等于不确定条件下期望的效用水平。即u（E（g）－P）≡u（g）。换言之，单赌g所含的风险相当于使一个完全确定的收入量E（g）减少了P的额度。
1704635204
1704635205
从图4.4中可以看出
1704635206
1704635207
1704635208
1704635209
1704635210
要注意的是，这里，相当于E（g）的收入被看作是一个完全确定的收入，风险升水是指当一个完全确定的收入E（g）转化为两个不确定的收入w1与w2时，消费者由于面临风险而付出的代价。P表示，w1或w2两个不确定的结果所代表的效用均值，实质上使一个确定的收入E（g）缩小为另一个确定的收入“CE”，这两个确定的收入之间的差距，便是风险的代价，故称风险升水。
1704635211
1704635212
例5：假定u（w）≡ln（w）。令单赌赋于赢h与亏h各50％的概率，设消费者原来的资产水平为w。求CE与风险升水P。
1704635213
1704635214
解：原来的资产w0＝E（g），这是一个确定的收入水平，如不赌，不会丢掉；
1704635215
1704635216
如参加赌（参加竞争与冒险），有两种可能，一是赢，会有w0＋h；二是输，只会剩w0－h；所以，g≡（0.5×（w0＋h），0.5×（w0－h））
1704635217
1704635218
1704635219
1704635220
1704635221
1704635222
1704635223
1704635224
1704635225
所以
1704635226
1704635227
1704635228
所以
1704635229
1704635230
也许有人会说，E（g）明明是含不确定性的期望收入，怎么说（P＝E（g）－CE）是两个完全确定的收入之间的差距呢？原因在于，我们这里假定消费者拥有一笔完全确定的相当于E（g）的收入，而不是说E（g）本身就是完全确定的。“P＝E（g）－CE”的含义是，一个有风险的赌局带给消费者的真实财产水平其实不是该赌局的期望收入水平E（g），而是与该赌局给消费者带来的期望效用水平u（g）所对应的确定性等值的收入水平CE。消费者若是聪明理智的人，对该赌局打出的分就不应该是E（g），而应该是CE。风险升水“P”这一概念的深刻之处在于：在有风险与不确定性时，赌局带给消费者的真实收入水平是CE，而不是期望收入E（g）；当u（w）是严格凹时，真实等价的收入CE必小于赌局的期望收入水平，这个使E（g）还要缩水的原因，恰恰就是风险。风险升水“P”告诉我们，我们对一项投资项目或一项含风险的消费计划作评估时，千万不要根据它们的期望收入来打分，而应该按CE来评估它们，即要结合投资者或消费者的效用函数形式，对含风险的投资项目或消费计划做出合理评估。这里，E（g）是只根据客观概率判断做出的评估，而“CE”（确定性等值）则是结合了客观概率与主观偏好（u（x）的形式）后做出的评估。显然，CE才是投资者或消费者的真实评估。
1704635231
1704635232
2．应用
1704635233
1704635234
1704635235
例6：有一种彩票，有赢或输两种概率。如赢，获900元，其概率为0.2；如输，只获100元，其概率为0.8。如消费者的效用函数形式为问该消费者愿出多少钱去买这张彩票？风险升水P的值是多少？
1704635236
1704635237
解：消费者对该彩票的出价即评估应按CE来做出，即
1704635238
1704635239
u（CE）＝0.2u（900）＋0.8u（100）