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L＝－1 与 L＝7
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因L＝－1不合理，应舍去。所以，合理区域的右端点为L＝7。
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这样合理区域为
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4.5≤L≤7
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目前的使用量L＝3，所以是不合理的。
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（3）劳动投入最优的必要条件为p·MPL＝w。
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即 （21＋18L－3L2）3＝63
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容易解出
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L＝0 或 L＝6
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L＝0不合理，舍去。因此，L＝6，即使用6个劳动力最优。
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微观经济学十八讲 [:1704632834]
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第三节 长期生产函数与要素组合比例
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一、长期生产函数
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在长期，所有的要素都是可变的，因此，K也是可以改变的。这样，如果我们只考虑两种投入要素的生产函数，便有
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这一生产函数里的劳动L与资本K都是可变的。
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二、要素的边际技术替代率（MRTS）
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在长期，不仅两种要素投入都可以改变，并且两者之间可以相互替代。因此，同一数量的产量往往可以由两种要素的不同组合来实现。类似于第一讲里所出现的无差异曲线，同一数量的产出量可由两种要素的不同的组合来实现的思想可以通过等产量线来表达。设q0为一定的产出量，那么
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就是一条等产量线，其产出量为q0，是一个常数，所有满足上式的L与K的组合的轨迹便是一条等产量线。
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图6.7里给出了三条等产量线：q（3）>q（2）>q（1）。
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图6.7 等产量线图
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在每一条等产量线上，过某一点的切线的斜率是一种替代的比率，即投入要素L对另一投入要素K的替代率。通过这样的替代，可使产出量保持相等。我们定义该斜率的负值为“边际技术替代率MRTSL,K”（marginal rate of technical substitution）。写作
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