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1704639751 一、策略博弈的定义
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1704639753 策略博弈又称标准型博弈(normal form game),该博弈由三个要素构成:
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1704639755 (1)参与博弈的游戏者名单(a list of players, I={1,2,…,i,i+1,…,I});
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1704639757 (2)每一个游戏者的策略单(a list of strategies for i, Si={si},i=1,2,…,I);
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1704639759 (3)每一个策略组合所对应的收益单(a list of payoff),收益单上列出该策略组合带给每一个游戏者的收益。
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1704639761 例2:这是我们每一个人在孩童时玩过的游戏:石头、剪刀与布。如只有两人参与博弈,一人伸出拳头表示“石头”,另一个人伸出两个指头表示“剪刀”,则“石头顶破剪刀”。我们记获胜者的收益为1,输者的收益为-1。如果俩人出示的手势相同,则为平局,各得零分。类似地,我们可以得3×3收益矩阵。
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1704639763 表10.2 石头、布、剪刀的博弈
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1704639768 如果我们用式子写出上述博弈,则可写为
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1704639770 S1=S2={石头,布,剪刀}
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1704639772 U1(石头,石头)=U1(布,布)=U1(剪刀,剪刀)=0
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1704639774 U1(石头,布)=-1,U1(石头,剪刀)=1
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1704639776 U1(布,石头)=1,U1(布,剪刀)=-1
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1704639778 U1(剪刀,石头)=-1,U1(剪刀,布)=1
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1704639780 U2(s1,s2)=-U1(s1,s2)  对于所有的(s1,s2)∈S1×S2
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1704639782 I={孩子A,孩子B}
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1704639784 这个例子里有两个特点值得注意:第一,因为这是两人博弈,所以,这可以用二维表来加以描述;第二,在每一个策略组合所对应的收益要素(payoff element)中,两人的收益之和总是零,由于这一点,上述博弈可称为“零和博弈”。
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1704639786 这个博弈有“均衡”吗?均衡的定义告诉我们,它必须是每一个游戏者都选了最优的策略才出现的结果。但上述博弈里找不出每一个人都最优的策略组合。比如,如A选择了“石头”,则对B来说,最优的策略是“布”;但是一旦B选了“布”,则“石头”就不是A的最优策略。对于A来说,如B选了“布”,则其最优策略应是“剪刀”。→B又应改变其策略…,如此反复下去,我们找不出让两人都最最满意的结果。均衡是指,在该策略组合上,没有一个游戏者会改变其策略。而在例2,两人无法达到这种境界。这当然只是从纯粹策略的意义上讲的,如果把策略选择过程随机化,从混合策略的意义上来分析,仍能发现均衡,这我们会在第四节中分析。
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1704639788 我们再看另一个例子:
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1704639790 例3:有三个游戏者:A,B,C。每一个人可以报1,2,3(这即是三种策略)。每个人的收益为三人所报的数中最小那个数的4倍减去该人所报的那个数。我们让游戏者A与B列在收益矩阵的边上,让游戏者C在上、中、下三个盒子中选一个。则相应的策略博弈可以描绘成表10.3:
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1704639792 表10.3 三人“报利润”的策略型博弈
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1704639794 如果C选择报1,则:
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1704639799 如果C选择报2,则:
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