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如果C选择报3,则:
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这个博弈有四个特点:第一,这是一个三人博弈,而每个人都有三个策略选择,所以,可能的结果有3×3×3=27个。第二,这不是一个零和博弈,并且收益和不为常数。第三,这个博弈里,当另外两个人中只要有一个人或一人以上没有报3,如剩下的一个人报3,则会得的比别人少;而少报则会得的比多报的人多。第四,该博弈中是存在均衡的。比如,(1,1,1)即每人报1,就是一个均衡;每人报2,亦是均衡;每人报3,亦是均衡。
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该博弈与我们见到的国有企业经理利润报告情况有一些联系。在同一行业中,如别的企业没有多报,一个企业如多报,则有可能因多报而上缴更多的费与别的摊派。但如各企业都多报了,则你这个企业多报不仅会增进你的利益,还可以增进别的企业利益。如别的企业都报自己完成或超额完成了8%的增长率,而你这个企业则少报,很可能是拉全行业的后腿。在例3里,博弈的规则是鼓励全体个体都多报,但在个体之间的分配关系上却鼓励个别单位少报,在每一个博弈结果里,多报者的收益总是少于少报者。这里的根本原因是报酬的基数在多报与少报者之间是一样的,但多报者要为多报而付出额外的代价。
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另一种解释是,把策略Si={1,2,3}解释成实际完成的产量,把Ui(s1,s2,s3)=4[min{s1,s2,s3}]-si看成为毛收益(当然,这不大恰切,因分配的总量不应高于产量),则si可以看作是个别单位为实现si所付出的成本。但结论是一样的:在该博弈里,同行之间是少干的人比多干的人得的多;但最好的办法是与别人干得一样多;枪打出头鸟。这里有一个动力问题:谁愿多干?
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二、占优(dominance)
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在给出策略型博弈的模型之后,下一步是分析这个模型,并且预测什么必然会发生,什么不会发生?在非协同博弈里,有两种解的技术:一种是占优解,另一种是均衡解。均衡解又称纳什均衡(Nash equilibrium),我们在第三节里会分析它。这里先分析占优解。
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例4:考虑由表10.4所给出的策略型博弈。我们有理由假定A不会选择策略x,原因是,无论B会选择u还是v,对于A来说,选择y总比选择x好。我们称x被y占优了,而y是占优于x的。
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表10.4 占优解
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但是,在表10.4(左)中,我们的分析到此为止,不能再前进了。我们仍然无法预测博弈最后会达到什么结果。请看表10.4(右),这里,游戏者A的收益与左表并无区别,但游戏者B的收益有了变化。这种变化可以使我们的分析获得进展。由于A的收益并无变化,所以我们仍可假定y占优于x,A不会选择x这一策略。如果游戏者B看到A不会选择x,则博弈便成为A的{(y,z)}与B的{(u,v)}之间的博弈,对于B来说,在A略去了x之后,u明显地被v占优,因此,B不会选择u。于是,一旦我们认定A不会选择策略x,B就不会选择策略u。最后,A看到u会从B的策略选择过程中被略去,于是A只会选择y。最后,我们看到,博弈的结果是(y,v),与之对应的收益是(8,2)。
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在上述推理中,我们不仅假定A不会选择策略x,即假定A不会选择无论B选择什么都会给A带来差收益的策略,而且假定:(1)B也会像A那样做;(2)B对A的占优策略是知道的,A对B的占优策略也是知道的。正因为有上述假定,才会有最终的博弈均衡(y,v)。
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我们把A排除x的过程叫做“简单占优”,即只排除一次。一旦在第一个游戏者排除了一个策略之后,一个或几个策略会在此基础上相继被排除掉,则称占优过程为“相继占优”(successive dominance)或“重叠占优”(iterated dominance)。上例中,(y,v)便是由重叠占优得到的。而在表10.4(左)中,只有“简单占优”,我们无法预测博弈的最终结果。
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第三节 最优反应与纳什均衡
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在某些场合,比如表10.4(右)中,如果我们运用占优技术,是可以预测游戏者们最终会得到什么结果。但这种情况并不多见。在博弈中,占优只给我们带来极少的分析结果。在博弈理论的文献里,最典型的方法是纳什(Nash)均衡分析。
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一、最优反应(best response)
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为了定义纳什(Nash)均衡,我们得引进“最优反应”的概念。在古诺均衡与斯塔克博格均衡里,我们谈过“反应函数”。这里,我们用博弈论的术语来重新表达反应与最优反应。
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1.“所有别的游戏者的策略”的表述
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对于某一个策略组合s=(s1,s2,…,si,si+1,…,sn),我们记
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为所有别的游戏者的策略。即一个策略组合中去掉第i个游戏者的所选策略。这s-i是第i个游戏者在选取si时所面对的所有别的对手的策略的集合。
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