打字猴:1.70463978e+09
1704639780 U2(s1,s2)=-U1(s1,s2)  对于所有的(s1,s2)∈S1×S2
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1704639782 I={孩子A,孩子B}
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1704639784 这个例子里有两个特点值得注意:第一,因为这是两人博弈,所以,这可以用二维表来加以描述;第二,在每一个策略组合所对应的收益要素(payoff element)中,两人的收益之和总是零,由于这一点,上述博弈可称为“零和博弈”。
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1704639786 这个博弈有“均衡”吗?均衡的定义告诉我们,它必须是每一个游戏者都选了最优的策略才出现的结果。但上述博弈里找不出每一个人都最优的策略组合。比如,如A选择了“石头”,则对B来说,最优的策略是“布”;但是一旦B选了“布”,则“石头”就不是A的最优策略。对于A来说,如B选了“布”,则其最优策略应是“剪刀”。→B又应改变其策略…,如此反复下去,我们找不出让两人都最最满意的结果。均衡是指,在该策略组合上,没有一个游戏者会改变其策略。而在例2,两人无法达到这种境界。这当然只是从纯粹策略的意义上讲的,如果把策略选择过程随机化,从混合策略的意义上来分析,仍能发现均衡,这我们会在第四节中分析。
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1704639788 我们再看另一个例子:
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1704639790 例3:有三个游戏者:A,B,C。每一个人可以报1,2,3(这即是三种策略)。每个人的收益为三人所报的数中最小那个数的4倍减去该人所报的那个数。我们让游戏者A与B列在收益矩阵的边上,让游戏者C在上、中、下三个盒子中选一个。则相应的策略博弈可以描绘成表10.3:
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1704639792 表10.3 三人“报利润”的策略型博弈
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1704639794 如果C选择报1,则:
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1704639799 如果C选择报2,则:
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1704639804 如果C选择报3,则:
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1704639809 这个博弈有四个特点:第一,这是一个三人博弈,而每个人都有三个策略选择,所以,可能的结果有3×3×3=27个。第二,这不是一个零和博弈,并且收益和不为常数。第三,这个博弈里,当另外两个人中只要有一个人或一人以上没有报3,如剩下的一个人报3,则会得的比别人少;而少报则会得的比多报的人多。第四,该博弈中是存在均衡的。比如,(1,1,1)即每人报1,就是一个均衡;每人报2,亦是均衡;每人报3,亦是均衡。
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1704639811 该博弈与我们见到的国有企业经理利润报告情况有一些联系。在同一行业中,如别的企业没有多报,一个企业如多报,则有可能因多报而上缴更多的费与别的摊派。但如各企业都多报了,则你这个企业多报不仅会增进你的利益,还可以增进别的企业利益。如别的企业都报自己完成或超额完成了8%的增长率,而你这个企业则少报,很可能是拉全行业的后腿。在例3里,博弈的规则是鼓励全体个体都多报,但在个体之间的分配关系上却鼓励个别单位少报,在每一个博弈结果里,多报者的收益总是少于少报者。这里的根本原因是报酬的基数在多报与少报者之间是一样的,但多报者要为多报而付出额外的代价。
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1704639813 另一种解释是,把策略Si={1,2,3}解释成实际完成的产量,把Ui(s1,s2,s3)=4[min{s1,s2,s3}]-si看成为毛收益(当然,这不大恰切,因分配的总量不应高于产量),则si可以看作是个别单位为实现si所付出的成本。但结论是一样的:在该博弈里,同行之间是少干的人比多干的人得的多;但最好的办法是与别人干得一样多;枪打出头鸟。这里有一个动力问题:谁愿多干?
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1704639815 二、占优(dominance)
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1704639817 在给出策略型博弈的模型之后,下一步是分析这个模型,并且预测什么必然会发生,什么不会发生?在非协同博弈里,有两种解的技术:一种是占优解,另一种是均衡解。均衡解又称纳什均衡(Nash equilibrium),我们在第三节里会分析它。这里先分析占优解。
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1704639819 例4:考虑由表10.4所给出的策略型博弈。我们有理由假定A不会选择策略x,原因是,无论B会选择u还是v,对于A来说,选择y总比选择x好。我们称x被y占优了,而y是占优于x的。
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1704639821 表10.4 占优解
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1704639826 但是,在表10.4(左)中,我们的分析到此为止,不能再前进了。我们仍然无法预测博弈最后会达到什么结果。请看表10.4(右),这里,游戏者A的收益与左表并无区别,但游戏者B的收益有了变化。这种变化可以使我们的分析获得进展。由于A的收益并无变化,所以我们仍可假定y占优于x,A不会选择x这一策略。如果游戏者B看到A不会选择x,则博弈便成为A的{(y,z)}与B的{(u,v)}之间的博弈,对于B来说,在A略去了x之后,u明显地被v占优,因此,B不会选择u。于是,一旦我们认定A不会选择策略x,B就不会选择策略u。最后,A看到u会从B的策略选择过程中被略去,于是A只会选择y。最后,我们看到,博弈的结果是(y,v),与之对应的收益是(8,2)。
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1704639828 在上述推理中,我们不仅假定A不会选择策略x,即假定A不会选择无论B选择什么都会给A带来差收益的策略,而且假定:(1)B也会像A那样做;(2)B对A的占优策略是知道的,A对B的占优策略也是知道的。正因为有上述假定,才会有最终的博弈均衡(y,v)。
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