1704643065
1704643066
接下来，我们引入一个定理：
1704643067
1704643068
1704643069
【定理】 需求函数的基本性质：如果效用函数ui满足假定A，则，当价格向量p≫0时，消费者的问题（即式（16.2））便存在一个惟一解xi（p，p·ei）。同时，xi（p，p·ei）对于p在定义域上是连续的。
1704643070
1704643071
1704643072
该定理中xi（p，p·ei）其实就是马歇尔需求函数xi（p，y），只不过y＝p·ei。该解的存在性来自于p≫0，因此预算集是有界的。惟一性来自于ui的严格拟凹。x（p，p·ei）的连续性来自于极大化定理。我们在此不证明了。要注意的是，需求函数x（p，p·ei）对于p连续的性质要求p≫0，价格向量中的每一维价格必须是大于零的，即在定义域上。为什么？如其中有一种价格等于零，那么可能对某商品的需求量会无限大，这会破坏需求函数的连续性。
1704643073
1704643074
在瓦尔拉斯1874年关于一般均衡存在性的证明过程中，他运用的是建立需求函数与供给函数的联立方程式。今天，这种证明通常是用更为方便的超额需求函数形式。因此，我们引入超额需求函数的定义。
1704643075
1704643076
2．超额需求函数的性质
1704643077
1704643078
【定义】 超额需求（excess demand）函数：对于市场k来说，其超额需求函数是一个实函数
1704643079
1704643080
1704643081
1704643082
1704643083
整个社会的总超额需求为一个实值函数
1704643084
1704643085
1704643086
1704643087
1704643088
换言之，对于第k种物品的市场来说，超额需求就是所需量超过社会可供量的差额。
1704643089
1704643090
超额需求函数具有下列性质：
1704643091
1704643092
【定理】 超额需求函数的性质：如果对每一个消费者i来说，ui满足假定A，则对于所有的价格向量p≫0，都有：
1704643093
1704643094
（1）连续性：Z（·）对p是连续的；
1704643095
1704643096
（2）零次齐次性：Z（λp）＝Z（p），对于所有λ>0；
1704643097
1704643098
（3）瓦尔拉斯定律：p·Z（p）＝0
1704643099
1704643100
证明：
1704643101
1704643102
连续性来自于需求函数xi（p，p·ei）的连续性。
1704643103
1704643104
零次齐次性的证明来自于公式（16.10），由于λp·xi≤λp·ei等价于p·xi≤p·ei，因此，xi（λp，λp·ei）等价于xi（p，p·ei），所以Zk（λp）等价于Zk（p）。（你想一想，当全部物品的价格按同一比例上升时，你所拥有的物品的价格与你想买的商品按同一比例涨价，则你所拥有的收入与你将付出的支出的相对关系不变，你的需求肯定不变。这就是零次齐次性。）
1704643105
1704643106
瓦尔拉斯定律的证明如下：
1704643107
1704643108
从（16.10）式出发，将预算约束取等式，便有
1704643109
1704643110
1704643111
1704643112
1704643113
即
1704643114