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x(p*)=(x1(p*,p*e1),x2(p*,p*e2),…,xI(p*,p*eI)),这里第i个分量(代表第i个消费者)给出当价格为p*时消费者i所需求的并获得的n维的商品向量。则称x(p*)为一种瓦尔拉斯均衡配置,简称WEA,并记为W(e)。
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注意,瓦尔拉斯均衡与瓦尔拉斯均衡配置是不同的。瓦尔拉斯均衡是一个n维价格向量,该价格向量使各个市场都供求相等。而瓦尔拉斯均衡配置则是一个需求矩阵,为n×I级,它所指的是当价格使各个市场都达到供求相等时,每个消费者对于n种商品所需求的并所获得的商品数量。这样,我们可以用物品(社会资源)在每一个消费者手中的拥有量来评估消费者所获得的福利。这就是为什么瓦尔拉斯均衡配置可以与福利经济学相联系的原因。下面,我们来表述并证明第一福利经济学的基本定理。
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【定理】 福利经济学第一基本定理:考虑一个交易经济(ui,ei)i∈I。如果每一个消费者的效用函数,ui,在定义域上是连续且严格递增的,则每一种瓦尔拉斯均衡配置都是帕累托有效。
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证明:
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我们只要能证明,在满足该定理的条件时,每一种瓦尔拉斯均衡配置W(e)都属于“核”C(e),即
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由于在第一节已讨论过的核的定义,每一种“核”必是帕累托有效,所以,瓦尔拉斯均衡必是帕累托有效。
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因此,当ui在上满足连续,严格递增时,必有W(e)⊂C(e),这是一个更强的定理。我们接下来的任务便是证明这个更强的定理。
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我们用反证法。
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设x(p*)是当均衡价格为p*时的一种瓦尔拉斯配置,假定x(p*)C(e)。
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首先,由于x(p*)是一种瓦尔拉斯均衡配置,是与p*所对应的一种配置,又由于瓦尔拉斯均衡必定满足可行性,所以,x(p*)是可行的。
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但是,由假设x(p*)∉C(e),因此,我们能够发现一个联盟S以及另一种配置y使得
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并且
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其中至少有一人在(16.31)里取严格不等式。从(16.30)可知
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而从(16.31),我们知道ui(yi)≥,ui(xi(p*,p*·ei)),这会导致
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其中至少对一个消费者,前面的不等式为严格不等式。
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