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（2）如果我们已达到了帕累托有效，则就无法使任何人的状况再得以改善。
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7．请证明：
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在两物品、两个消费者的纯粹交易经济里，帕累托有效的一个必要条件是
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这里，上标表示人，下标表示物。
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8．在一个岛上，有200磅粮食要在两个孤立无援的水手之间分配。第一个水手的效用函数为其中F1是由第一个水手消费的数量。对于第二个水手，其粮食消费的效用函数为
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（1）如果粮食在两个人之间平均分配，他们各自的效用是多少？
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（2）如果他们的效用相等，粮食应如何分配？
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（3）要使两个人的效用之和最大，应如何分配粮食？
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（4）假设第二个水手的能够求生的效用水平是5，如果想要在第二个水手得到最低效用水平的前提下使效用之和最大化，应如何分配粮食？
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（5）假定两个水手都赞成的社会福利函数为那么，在两个水手之间应怎样分配粮食才能使社会福利最大化？
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9．甲有6瓶汽水，1块面包；乙有1瓶汽水，4块面包。两人对汽水与面包的效用函数一样，都为u＝xy，x为汽水瓶数，y为面包块数。现在相互交换汽水与面包，但只能整瓶与整块地换。甲先提议：“我要用A瓶汽水换你B块面包”。问：
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（1）A与B各为多少时，交换才可能成功，且对甲最有利？
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（2）如果u＝（1／a）（lnx＋lny），A与B又将是多少？
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10．设有两种产品，鱼6吨和肉9吨，分给甲、乙两人。甲分到A吨鱼，B吨肉；乙分到C吨鱼，D吨肉。甲、乙的效用函数分别为
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（1）请推导：当分配方案达到帕累托最优时，A、B所满足的关系式。（注：表示成A＝f（B）的形式。）
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（2）如果有三种产品，鱼6吨、肉9吨和蛋12吨，分给甲、乙两人。甲分到A吨鱼，B吨肉，C吨蛋；乙分到D吨鱼，E吨肉，F吨蛋。甲乙的效用函数分别为
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请推导：当分配方案达到帕累托最优时，A、B、C所满足的关系式。（注：表示成A＝f（B），A＝g（C）的形式。）
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