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如果经济中存在H个不同的家庭，则每个家庭h的偏好就可用下列间接效用函数来加以刻画
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公式（17.65）中，由h不同，所以它实际上表达了不同家庭的偏好，每个家庭的效用取决于一组含税价格（q1，q2，…，qN）、工资率w（这里仍假定对劳动收入不征税，并且工资率对每个家庭都相等）、与该家庭的收入Ih。如果所有家庭的偏好都相同，则用不着上标h，于是公式（17.65）就还原为公式（17.42），即返回兰姆塞的原始模型。
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记家庭h的消费需求为则政府岁入约束便可写成
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（17.66）式表示：政府的财政收入要就每一种商品i向每一个家庭h征收，然后再对全体商品i加总。
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因为有H个家庭，社会福利函数形式就采用伯格森—萨缪尔逊（Bergson-Samuelson）形式
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（17.67）式是说，社会总福利由H个家庭的间接效用函数决定。
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于是，最优商品税制的设计便是下列一个数学规划
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运用拉格朗日乘子法，可得最优税制的一阶条件为
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再运用罗尔恒等式（这里，αh表示家庭h的收入的边际效用），则（17.69）式中的第一项便可以写为
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现在，我们定义
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什么叫βh？βh表示家庭h的收入上升所产生的社会福利的上升。为什么？因为，βh是家庭h的收入的边际效用与h的效用上升对于社会福利的效应的乘积。所以，在戴尔蒙与米尔利斯1971年的论文中，就称βh为家庭h的“收入的社会边际效用”。
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有了βh这一定义，公式（17.69）就可写为
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