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于是，我们有多种直觉；首先，求助于感觉和想象；其次，通过归纳进行概括，而归纳可以说是摹写实验科学的程序；最后，我们有纯粹数的直觉，我刚才阐述的第二个公理即由此而生，它能够创造真正的数学推理。我在上面已用例子表明，前两个公理不能给我们以必然性；但是，谁当真会怀疑第三个呢？谁会怀疑算术呢？
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于是，在今日的解析中，当人们想千方百计地追寻严格性时，除了三段论或诉诸纯粹数的直觉外，则别无它法，惟有这种直觉不会欺骗我们。可以说，绝对严格性今天已被达到。
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Ⅳ
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哲学家还做出另外的诘难，他们说：“你在严格性方面有所得，你将在客观性方面有所失。你只有割断把你和实在连接起来的结合物，你才能够达到你的逻辑理想。你的科学是确实可靠的，但是只有把它束缚在象牙塔内，断绝它与外部世界的所有联系，它才能够继续存在下去。若试图稍稍应用它，它就会从这个囚禁之处逃逸出去。”
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例如，我企图证明，某一特性附属于某一对象，该对象的概念乍看起来似乎不可定义，因为它是直觉的。起初，我或者失败，或者必须满足近似的证明；我最后决定给我的对象下精确的定义，这使我以无可指责的方式确立这一特性。
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哲学家说：“于是，依然要证明，对应于这个定义的那个对象的确与你通过直觉所认识的对象是相同的；或者依然要证明，你立即自信你辨认出的、与你的直觉观念一致的、某个真实而具体的对象对应于你的新定义。然后，你才能断言，它具有所述的那种特性。你只不过是转移了困难而已。”
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情况并非严格如此；困难未被转移，它只是被分开了。所确立的命题实际上由乍看起来没有区别的、两种不同的真理构成。其一是数学的真理，它现在已被严格地建立起来了。其二是实验的真实性。惟有经验能够告诉我们，某个真实而具体的对象对应于或不对应于某个抽象的定义。这第二种真实性在数学上未被证明，它也不能用数学证明，物理科学和自然科学的经验定律同样也不能用数学证明。要打破砂锅问到底也许就不合道理了。
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于是，把长期以来错误地混为一谈的东西区分开来，这不是一大进展吗？这意味着统统驳回了哲学家的这一诘难吗？我不想那样说；数学科学在变成严格的科学时，它获得如此人为的特征，以致给每一个人都留下了印象；它忘记了它的历史起源；我们看到问题应该怎么回答，我们不再理会问题如何提出和为何提出。
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这向我们表明，逻辑不是充分的；证明的科学并非全部科学，直觉作为补足物必然保持它的作用，我正要说直觉作为逻辑的平衡物或矫正物。
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在讲授数学科学时，我已有机会坚持直觉应该占有的地位。没有直觉，年轻人在理解数学时便无从着手；他们不可能学会热爱它，他们从中看到的只是空洞的玩弄词藻的争论；尤其是，没有直觉，他们永远也不会有应用数学的能力。但是，现在我首先要谈谈直觉在科学本身中的作用。如果直觉对学生是有用的，那么对有创造性的科学家来说，它更是须臾不可或缺的。
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Ⅴ
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我们寻求实在，可是实在是什么呢？生理学家告诉我们，有机体是由细胞形成的；化学家附加道，细胞本身是由原子形成的。这意味着这些原子或这些细胞构成实在，或确切地讲，构成惟一的实在吗？这些细胞排列的方式和导致个体统一的方式不也是比孤立的要素的实在更为有趣的实在吗？除了用显微镜外，从未研究过大象的博物学家能够认为他自己充分地了解这种动物吗？
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好了，在数学中也有一些与此类似的东西。可以说，逻辑主义者因之把每一个证明分为许多基本演算；当我们已经相继审查了这些演算，并确认每一个都正确无误的时候，我们必须认为我们已经把握了该证明的真正意义吗？即使当我们博闻强记，正好运用发明者排列这些基本运算的顺序而重演它们，从而能够重复这一证明时，我们可以理解它吗？显然不能；我们还不具有全部实在；我不知道什么东西造成了证明的一致，这将使我们感到十分困惑。
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纯粹解析把许多程序提供给我们使用，它保证这些程序是确实可靠的；它向我们开辟了成千条不同的大道，我们可以满怀信心地迈步在这些大道上；我们确信在那里没有障碍；但是，在所有这些道路中，哪一条会最迅速地把我们引向我们的目标呢？谁将告诉我们应该选择哪一条呢？我们需要使我们具有一览遥远目标的本领，直觉就是这样的本领。直觉对于选择他的路线的探索者来说是必要的；对于那些追随他的足迹、欲知他为什么要选择那条路线的人来说，情况也是如此。
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假如你正在观棋，要弄懂一盘比赛，仅知道棋子走动的规则是不够的。那只能使你辨认每一步符合这些规则，这种知识的确没有多少价值。如果读数学书的人仅仅是一位逻辑主义者，那么他也会这样做。要弄懂棋赛完全是另一回事；必须了解棋手为什么走这个棋子而不走那个棋子，他本可以在不违反下棋规则的情况下走那一步的。可以察觉出使这一系列相继的步子成为一种有机的整体的内在根据。也就是说，这一本领对于棋手本人更为必要，对发明家来说也是这样。
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让我们撇开这种比较而返回到数学上来吧。例如，看看连续函数观念所发生的情况。起初，这仅仅是可感觉的图像，例如用粉笔在黑板上勾画的连续痕迹的图像。然后，它渐渐地变得精细了；不久，它被用来构造复杂的不等式系统，这可以说是摹写了原始图像的全部线条；这座建筑物竣工后，拱架好比说被拆除了，临时作为支架而此后毫无用处的粗糙的表象被抛弃了；保留下来的仅仅是建筑物本身，在逻辑主义者看来，该建筑物是无懈可击的。但是，倘若原始图像从我们的回忆中统统消失，那么所有这些不等式以这种方式相互堆叠，我们究竟是借助什么随想而如何神悟的呢？
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也许你认为我使用了过多的比喻；可是，请原谅我再做一个比喻。你无疑见过形成某些海绵骨骼的硅质针状的纤细集合物。当有机物质消失时，留下的只是易脆的美丽的网眼薄纱。的确，除了二氧化硅外别无它物，可是有趣的是这种二氧化硅所具有的形状；如果我们不知道正好使二氧化硅呈现这一形状的活海绵，我们便不能理解它。因而，正是我们祖先的古老的直觉观念，即使当我们已经抛弃了它们，它们的形式还铭刻在我们用来代替它们的逻辑结构上。
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对于发明家来说，这种集合物的观点是必不可少的；对于希望实际了解发明家的任何人来说，它同样是不可欠缺的。逻辑能够把它给予我们吗？不能；数学家给它起的名字足以证明这一点。在数学中，逻辑被称为解析，解析意味着分解、分析。因此，除了解剖刀和显微镜外，不会有其他工具。
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这样一来，逻辑和直觉各有其必要的作用。二者缺一不可。惟有逻辑能给我们以确定性，它是证明的工具；而直觉则是发明的工具。
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Ⅵ
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但是，在提出这个结论时，我总是顾虑重重。当初，我区分了两种类型的数学心智，一类是逻辑主义者和解析家，另一类是直觉主义者和几何学家。咳，解析家也是发明家。我前面列举的人名足以说明这一事实，没有必要详述了。
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在这里，存在着一个需要说明的矛盾，至少在表面上是这样。首先，正像形式逻辑规则要求这些逻辑主义者那样，他们总是从一般到特殊，你认为是这样吗？于是，他们无法开拓科学的疆界；科学的征服只能靠概括进行。
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在《科学与假设》的一章中，我有机会研究了数学推理的本性，而且我已经表明，在不失去绝对严格性的情况下，通过我称之为数学归纳法的程序，这种推理如何把我们从特殊提升到一般。正是借助于这种程序，解析才促成了科学的进步；如果我们审查一下他们证明的细节，我们将会发现，它每时每刻都与亚里士多德经典的三段论无关。因此，我们已经看到，解析家并非仿效经院哲学家的样式，仅仅是三段论的制造者。
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还有，你认为他们看不到他们希望达到的目标，总是一步一步地摸索着前进吗？他们必须推测通向那里的道路，为此他们需要向导。这个向导首先是类比。例如，解析中一种宝贵的证明方法是建立在强函数使用之上的方法。我们知道，它已经用来解决了许多问题；那么，希望把它应用到新问题中的发明家的作用何在呢？最初，他必须辨认这个问题与用这种方法已经解决的那些问题类似；然后，他必须察觉这个新问题在什么方面与其他问题不同，从而推断应用于该方法所必需的修正。
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但是，人们怎样察觉这些类似和这些差别呢？在我刚才举的例子中，它们几乎总是一目了然的，但是我可以找到它们潜藏得比较深的其他例子；为了发现它们，往往需要非同寻常的洞察力。为了不让这些隐藏的类似逃脱，就是说为了成为一个发明者，解析家必须在不借助于感觉和想象的情况下，直觉到一项推理的一致性由什么构成，也可以这样说，它的灵魂和最深处的生命由什么构成。
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