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让我们现在考虑两个外部变化：α和β，例如，它们将是半蓝半红的球的转动和半黄半绿的球的转动；这两个变化没有共同之处，因为在我们看来，一个从蓝色变为红色，另一个从黄色变为绿色。另一方面，考虑两个内部变化系列S和S”；像其他系列一样，它们将毫无共同之处。但是，我说α和β对应于相同的位移，S和S”也对应于相同的位移。为什么呢？仅仅是因为S能够矫正α以及β，α能够被S”以及S矫正。于是，提出了一个问题：如果我已确定S矫正α和β，S”矫正α，我同样可以肯定S”矫正β吗？惟有实验才能够告诉我们这个规律是否被证实。如果它未被证实，至少未被近似地证实，那么就不会有几何学，不会有空间，因为我们对内部变化和外部变化的分类不会有更多的兴趣——尽管我刚才已作过这种分类，而且对区分状态变化和位置变化也不会有更多的兴趣。
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看看经验在这一切中起什么作用是饶有兴味的。经验向我表明，某一规律被近似地证实了。经验没有告诉我，空间是何种状态，它是否满足所述的条件。事实上，在所有经验之前，我就知道空间满足这个条件，或者不可能有空间；我也没有任何权利说，经验告诉我几何学是可能的；我十分清楚地看到，几何学是可能的，因为它没有隐含矛盾；经验仅仅告诉我们几何学是有用的。
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6.视觉空间
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正如我刚刚说明的，虽然动觉印象在空间概念的起源中总的来说具有举足轻重的影响，没有它们空间概念永远也不会产生，但是再审查一下视觉印象的作用，研究一下“视觉空间”有多少维，并不是索然无味的，为此目的，让我们把第3节的定义用于这些印象。
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第一个困难出现在眼前：考虑刺激视网膜某一点的红颜色的感觉；另一方面，考虑刺激视网膜同一点的蓝颜色的感觉。我们必须有某种办法来分辨这两个在质上不同的、有某些共同之处的感觉。现在，根据前节所陈述的想法，我们只有通过眼睛的移动和这些移动所引起的观察结果来分辨。假使眼睛不可动，或者我们对它的移动毫无意识，我们便不能分辨这两个不同质的、有某些共同之处的感觉；我们便不能分解它们，给它们赋予几何学的特征。没有肌肉感觉，视觉就不会有几何学的特征，以至于可以说，没有纯粹的视觉空间。
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为了消除这个困难，只考虑同一本性的感觉，例如红色感觉，这些感觉仅就它们刺激视网膜的点而言与另外的感觉不同。很清楚，为了把所有同样颜色的感觉统一在同一类，我没有理由在所有可能的视觉中做出这种任意的选择，而不管受刺激的视网膜上的点可能是什么。倘若以前我没有学会用我刚才看到的方法区分状态变化和位置变化，也就是说，假如我的眼睛不可动，那么我永远也不会想到它。在我看来，刺激视网膜不同部位的同样颜色的两个感觉似乎在质上是截然不同的，正如两个不同颜色的感觉一样。
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在把我局限于红色感觉时，我从而把人为的限制因素强加于我，我有意地忽略了该问题的整个一面；但是，只是通过这种技巧，我才能够分析视觉空间，而不与任何动觉相混。
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设想在视网膜上画一条线，把它的表面一分为二；留出刺激这条线上的点的红色感觉或与它们不同、但由于太小以致无法与它们区分的红色感觉。这些感觉的集合将形成一种类似于截量的东西，或称其为C；很清楚，这个截量足以把可能的红色感觉的流形分割开来，如果我取刺激分别位于该线一边和另一边的两个点的两个红色感觉，若在某一时刻不通过属于该截量的感觉，我便不能沿连续的途径从这些感觉的一个转移到另一个。
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因此，如果截量有n维，我的红色感觉的总流形——或者你乐意的话，也可说整个视觉空间——将有n+1维。
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现在，我把刺激截量C上的点的红色感觉区分开来。这些感觉的集合将形成新截量C＇。很清楚，在始终给分割这个词以相同意义的情况下，这将分割截量C。
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因此，如果截量C＇有n维，那么截量C将有n+1维，而整个视觉空间将有n+2维。
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如果刺激视网膜同一点的红色感觉被认为是等价的，那么化为单一元素的截量C＇便有0维，而视觉空间便有二维。
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然而，人们往往说，眼睛给我们以第三维的感觉，使我们在某种程度上辨认对象的距离。当我们试图分析这一感觉时，我们确定，它或者归因于眼睛会聚的意识，或者归因于睫肌使图像聚焦的努力调节的意识。
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因此，刺激视网膜同一点的两个红色感觉将被认为是恒等的，只要它们被相同的会聚感觉所伴随，而且也要被相同的努力调节的感觉所伴随，或者至少要被具有如此微不足道的差别的会聚和调节感觉所伴随，以至于这些感觉无法区分开来。
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为此缘故，截量C＇本身是连续统，截量C大于一维。
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但是，很凑巧，经验告诉我们，当两个视觉被同一会聚感觉伴随时，那么它们同样也被同一调节感觉所伴随。于是，如果我们用被某一会聚感觉伴随的截量C＇的所有感觉形成新截量C″，那么按照前述的规律，它们将完全是不可区分的，而且可以被认为是等价的。因此，C″将不是连续统，且有0维；因为C″分割C＇，所以它将导致C＇有一维，C有二维，而整个视觉空间有三维。
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但是，如果经验告诉我们相反的情况，如果某一会聚感觉并非总是被相同的调节感觉所伴随，事情还会一样吗？在这种情况下，两个刺激网膜同一点并被同一会聚感觉所伴随的感觉，两个因此而属于截量C″的感觉，无论如何都能够被区分开来，因为它们被两个不同的调节感觉所伴随。因此，C″本身也是连续统，而且（至少）会有一维；于是C＇应该有两维，C应该有三维，而整个视觉空间应该有四维。
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由于我们最终把三维赋予空间是从实验定律提出来的，人们于是可以说，正是经验告诉我们空间有三维吗？但是可以说，我们在那里完成的仅仅是生理学实验；还有，要使会聚感觉和调节感觉之间不一致，只要在眼睛上戴上合适构造的眼镜就足够了，我们能说戴上眼镜就足以使空间具有四维吗？制造眼镜的人给空间多加了一维吗？显然不能；我们所能说的一切就是，经验告诉我们，赋予空间以三维是方便的。
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但是，视觉空间仅仅是空间的一部分，即使在这个空间的概念中，正如我在开始时说明的那样，也存在着某些人为的成分。真实的空间是动觉空间，这就是我在下一章将要考察的内容。
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科学的价值 第四章 空间及其三维性
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1.位移群
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让我们简要地概括一下所得到的结果。我们打算研究所谓空间有三维意味着什么，我们首先要问，什么是物理连续统，何时可以说它有n维。如果我们考虑一下不同的印象系统并把它们相互比较，我们往往辨认出，这两个印象系统是不可区分的（这通常用下述说法来表示：它们相互之间太接近了，我们的感觉太粗糙了，以至于我们无法区分它们）；此外我们确定，这两个感觉系统尽管与第三个系统不可区分，但它们二者有时却能够彼此区分。在这种情况下，我们说这些印象系统的流形形成物理连续统C。而这些系统中的每一个称为该连续统C的元素。
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这个连续统有多少维呢？首先取C的两个元素A和B，设存在着完全属于连续统C的元素的系列∑，该系列是这样的：A和B是这个系列的外项，该系列的每一项与前一项不可区分。如果这样的系列∑能够被找到，我们就说A和B相互联通；如果C的任何两个元素相互联通，我们就说C完全是连成一片的。
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