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现在，在连续统C中以完全任意的方式取若干元素。这些元素的集合将被称为截量。在把A和B联合起来的各种系列中，我们将区分出两类系列：一种是其元素与该截量的一个元素不可区分的系列（我们将说，它们是切断截量的系列），一种是其所有元素与该截量的所有元素不可区分的系列。如果把A和B联通起来的所有系列∑切断截量，我们将说A和B被截量隔离，截量分割C。如果我们不能在C上找到被截量隔离的两个元素，我们将说截量没有分割C。
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在拟定了这些定义后，倘若连续统C能被本身不形成连续统的截量分割，则这个连续统只有一维；在相反的情况下，它有多维。若形成一维连续统的截量足以分割C，则C将有二维维；若形成二维连续统的截量足以分割C，则C将有三维，等等。多亏这些定义，我们总是能够辨认任何物理连续统有多少维。只是尚需找到一种物理连续统，它可以说等价于这样一种类别的空间，致使这个连续统的元素对应于空间的每一个点，不可区分的元素对应于空间中的彼此十分接近的点。于是，空间将具有与连续统一样多的维数。
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能够表示的这个物理连续统的中介物是必不可少的；因为我们无法想象空间，其理由很多。空间是数学连续统，它是无限的，而我们只能想象物理连续统和有限的对象。我们称之为点的空间的不同元素是完全类似的，为了应用我们的定义，我们必须了解如何相互区分这些元素，至少在它们不太接近的情况下应该如此。最后，绝对空间是胡言乱语，我们必须把与我们身体（我们必须始终假定我们身体恢复到原先的姿势）恒定地结合在一起的坐标系作为空间的参照系，以此作为出发点。
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再者，我试图用我们的视觉形成与空间等价的物理连续统；这的确是容易的，这个实例尤其适合于讨论维数；这一讨论能够使我们在某种程度上看到，谈论“视觉空间”有三维是可以容许的。只是这种解决办法是不完善的和不自然的。我已经说明了其中的原因，必须把我们的努力转向动觉空间，而不是视觉空间。另外，我回想起，我们在位置变化和状态变化之间做出区分的根源是什么。在我们的印象所发生的变化中，我们首先区分随意的、被肌肉感觉所伴随的内部变化和具有相反特征的外部变化。我们确定，会发生这种情况：外部变化可以被重建原来的感觉的内部变化矫正。能够被内部变化矫正的外部变化叫位置变化，不能被内部变化矫正的外部变化叫状态变化。能够被外部变化矫正的内部变化叫整个身体的位移，其余的变化叫姿势变化。
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现在，设α和β是两个外部变化，α＇和β＇是两个内部变化。假定α可以被α＇或β＇矫正，α＇能够矫正α或β；经验接着告诉我们，β＇同样能够矫正β。在这种情况下，我们说α和β对应于相同的位移，也说α＇和β＇对应于相同的位移。在做出这些先决条件后，我们能够设想一个物理连续统，我们可把它称为位移连续统或位移群，我们将用下述方式定义它。这个连续统的元素必须是能够矫正外部变化的内部变化。这两个内部变化α＇和β＇在下述情况下将被看做是不可区分的：（1）如果它们本来就是如此，也就是说，它们彼此之间太接近了；（2）如果α＇能够矫正与本来和β＇不可区分的第三个内部变化一样的外部变化。在第二种情况下，可以说，它们按照约定将是不可区分的，我意味着借助一致赞同忽略可以区分它们的境况。
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现在我们的连续统被彻底定义了，因为我们知道它的元素，并且规定在什么条件下它们可以被认为是不可区分的。从而我们具有应用我们的定义和确定这个连续统有多少维所必需的一切东西。我们将公认它有六维。因此，位移连续统并不等价于空间，因为维数不同；它仅仅与空间相关。现在，我们怎样知道这个位移连续统有六维呢？我们是根据经验知道它的。
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要叙述我们能够藉以获得这一结果的实验也许是很容易的。可以看到，能够在这个连续统中做出截量，该截量分割连续统，其本身亦是连续统；这些截量本身能够被其他二阶截量分割，二阶截量还是连续统，这种做法只有在六阶截量之后才会停止，六阶截量不再是连续统了。从我们的定义来看，这意味着位移群有六维。
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我已经说过，那是容易的，但是确切地讲，却是冗长的；它不会有点肤浅吗？我们看到，这个位移群与空间相关，空间可以由它产生，但是它不等价于空间，因为它没有相同的维数；当我们要表明这个连续统的概念如何能够形成和空间概念如何可以从它导出时，总是有人质问，为什么三维空间比这个六维连续统更使我们熟悉，总是有人怀疑，用这种迂回办法，空间概念是否能在人的心智中形成。
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2.两点的等价
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点是什么？我们怎么知道空间两点是等价还是不同？或者，换句话说，当我们说：对象A在时刻α占据对象B在时刻β所占据的点时，这意味着什么呢？
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这是我们在前章第4节给我们自己提出的问题。正如我已经说明过的，它不是把对象A和B放在绝对空间中的位置进行比较的问题；这样讨论问题显然没有意义。它是把这两个对象相对于和我们的身体恒定地结合在一起的坐标系的位置作比较的问题，倘若我们的身体总是以相同的姿势移动的话。
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我假定，在时刻α和β之间，我既没有移动我的身体，也没有移动我的眼睛，我是从我的肌肉感觉知道这一点的。我未使我的头、我的臂或我的手运动。我弄清，在时刻α，我归因于对象A的印象传送给我，一些是通过我的一个视觉神经纤维传送给我的，另一些是通过我的手指的一个敏感的触觉神经传送给我的；我查明，在时刻β，我归因于对象B的另外的印象传送给我，一些是通过同一视觉神经纤维，另一些是通过同一触觉神经。
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在这里，我必须停下来加以说明；我是怎样被告知，我归因于A的这个印象和我归因于B的那个印象这两个在质上不同的印象是通过同一神经传达给我的呢？以视觉为例，A产生两个同时并起的感觉，即纯粹的光感a和色感a＇，B以同一方式同时产生光感b和色感b＇，如果这些不同的感觉通过同一视网膜纤维传送给我，那么a与b恒等，但是一般说来，不同的身体产生的色感a＇和b＇是不同的，我们必须做上述假定吗？在那种情况下，伴随a＇的感觉a与伴随b＇的感觉b应该恒等，这辨明所有这些感觉是通过同一纤维传送给我的。
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无论如何，可以同意这个假设，尽管我可能更喜欢相当复杂的假设，但是可以肯定，我们通过某种方式被告知，在a+a＇和b+b＇这些感觉之间有某些共同之处，没有这一点，我们就会无法辨认对象B代替了对象A。
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因此，我不再进一步坚持，我回想起我刚才做出的假设：我假定我已经查明，我归因于B的印象是在时刻β通过同一视觉及触觉纤维传送给我的，而在时刻α，这些纤维把我归因于A的印象传送给我。如果情况确是如此，我们将毫不犹豫地断言，B在时刻β所占据的点等价于A在时刻α所占据的点。
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我刚刚阐明了这些点恒等的两个条件；一个与视力有关，另一个与接触有关。让我们分别考虑它们。第一个是必要的，但不是充分的。第二个同时是必要的和充分的。通晓几何学的人会用下述方式轻而易举地说明这一点：设O是视网膜上的一点，物体A在时刻α的图像在这里形成；设M是空间的一点，这个物体A在时刻α占据该点；设M＇是物体B在时刻β所占据的空间的点。由于这个物体B在O形成它的图像，因而没有必要使点M和M＇重合；由于视力是超距作用的，只要三点OMM＇在一条直线上就足够了。因此，两个对象在O形成它们的图像这一重合是必要的，但对点M和M＇重合而言，却不是充分的。现在，设P是我的手指占据的点，而且手指依然留在那里，由于它没有轻微移动。鉴于接触不是超距作用，所以若物体A在时刻α接触我的手指，正是因为M和P重合；若B在时刻β接触我的手指，正是因为M＇和P重合。因此M和M＇重合。这样一来，如果A在时刻α接触我的手指，则B在时刻β接触我的手指，这一重合对于M和M＇重合而言同时是必要的和充分的。
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但是，我们这些迄今还不了解几何学的人不能这样推理；我们能够做的一切就是通过实验弄清，与视力有关的第一个条件可以在没有与接触有关的第二个条件的情况下得到满足，但是若没有第一个条件，第二个条件则无法满足。
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假定经验告诉我们相反的东西，这是完全可能的；这个假设没有包含荒谬的东西。因此，假定我们根据实验已经查明，与接触有关的重合可以在与视力有关的重合未被满足的情况下得到满足，相反地，与视力有关的重合在与接触有关的重合未被满足的情况下却不能得到满足。很清楚，倘若如此，我们就应该得出结论：接触能够超距地施加，而视力却不能超距地起作用。
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但是，这并非一切；直到我假设确定对象的位置之时，我仅仅利用了我的眼睛和一个手指；可是，我同样也能够使用其他手段，例如我的所有其他手指。
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我假定，我的第一个手指在时刻α接受到我归因于对象A的触觉印象。我作出对应于肌肉感觉系列S的一系列动作。在这些动作之后，在时刻α＇，我的第二个手指接受到我同样归因于A的触觉印象。此后，正如我的肌肉感觉告诉我的，在时刻β，由于我没有轻微移动，这第二个手指把我这次归因于对象B的触觉印象重新传送给我；接着，我做出对应于肌肉感觉系列S＇的一系列动作。我知道，这个系列S＇与系列S相反，它对应于相反的动作。我知道，这是因为许多以前的经验向我表明，如果我相继做出两个对应于S和S＇的动作系列，那么就可以重建原来的印象，换句话说，这两个系列相互补偿。在决定了这一切后，我能够期望在时刻β＇，即当第二个动作系列结束时，我的第一个手指可以感觉到归因于对象B的触觉印象吗？
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为了回答这个问题，已经通晓几何学的人会进行如下推理：在时刻α和α＇之间，存在着对象A不移动的可能性，在时刻β和β＇之间，却不存在对象B不移动的可能性；他们采取了这一点。在时刻α，对象A占据了空间某一点M。现在，在这一时刻，它接触了我的第一个手指，因为接触不是超距作用的，所以我的第一个手指同样也在点M。我后来做了动作系列S，在这个系列结束时，即在时刻α＇，我确定对象A接触了我的第二个手指。我由此得出结论，这第二个手指当时在M，也就是说，动作S具有导致第二个手指到第一个手指之处的效果。在时刻β，对象B与我的第二个手指接触：因为我没有轻微移动，这第二个手指依然在M；因此对象B到达M；按照假设，直到时刻β＇，它没有轻微移动。但是，在时刻β和β＇之间，我做了动作S＇；因为这些动作与动作S相反，所以它们就效果而言必然导致第一个手指代替第二个手指。因此，在时刻β＇，这第一个手指将在M；因为对象B同样也在M，所以这个对象B将接触我的第一个手指。对于所提出的问题，从而应该做出肯定的回答。
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我们这些迄今还不通晓几何学的人不能够这样推理；可是我们查明，这一预期通常总是被实现；我们总是能够用下面的说法说明例外：对象A在时刻α和α＇之间运动了，或对象B在时刻β和β＇之间运动了。
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但是，一定的相反结果不会经历到吗？这种相反的结果本身会是荒谬的吗？显然不会。如果经验给出了这个相反的结果，那么我们应该做些什么呢？这样所有的几何学都会变得不可能吗？世界上绝没有这回事。我们应该使自己满足于这个结论：接触能够超距地进行。
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当我说，接触不超距地进行而视力超距地进行时，这个断言只有一个意义，这个意义如下所述：为了辨认B在时刻β是否占据A在时刻α占据的点，我能够使用大量不同的标准。或者我的眼睛介入，或者我的第一个手指介入，或者我的第二个手指介入等等。好了，为了其他一切标准能够被满足，与我的一个手指相关的标准被满足就充分了，但是与我的眼睛相关的标准能够被满足却并不充分。这就是我断言的意思，我满足于肯定通常已被证实的实验事实。
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在上一章末尾，我们分析了视觉空间；我们看到，为了产生这种空间，有必要引入视网膜感觉、会聚感觉和调节感觉；如果后两种感觉并非总是一致的话，那么视觉空间会有四维，而不是三维；我们也看到，如果我们只引入视网膜感觉，我们会得到仅有二维的“单纯视觉空间”。另一方面，考虑一下触觉空间，触觉空间把我们自己限制在单一手指的感觉范围内，简言之，即限制在这个手指能够占据的位置的集合内。这种触觉空间，我们将在下节进行分析，我请求允许我暂且不去进一步考虑它，我说这种触觉空间有三维。为什么严格所谓的空间与触觉空间维数相同而比单纯视觉空间多呢？这正是因为接触不能超距作用，而视力却可以超距作用。这两个断言具有相同的意义，我们刚刚看到这意味着什么。
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