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如果刺激视网膜同一点的红色感觉被认为是等价的，那么化为单一元素的截量C＇便有0维，而视觉空间便有二维。
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然而，人们往往说，眼睛给我们以第三维的感觉，使我们在某种程度上辨认对象的距离。当我们试图分析这一感觉时，我们确定，它或者归因于眼睛会聚的意识，或者归因于睫肌使图像聚焦的努力调节的意识。
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因此，刺激视网膜同一点的两个红色感觉将被认为是恒等的，只要它们被相同的会聚感觉所伴随，而且也要被相同的努力调节的感觉所伴随，或者至少要被具有如此微不足道的差别的会聚和调节感觉所伴随，以至于这些感觉无法区分开来。
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为此缘故，截量C＇本身是连续统，截量C大于一维。
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但是，很凑巧，经验告诉我们，当两个视觉被同一会聚感觉伴随时，那么它们同样也被同一调节感觉所伴随。于是，如果我们用被某一会聚感觉伴随的截量C＇的所有感觉形成新截量C″，那么按照前述的规律，它们将完全是不可区分的，而且可以被认为是等价的。因此，C″将不是连续统，且有0维；因为C″分割C＇，所以它将导致C＇有一维，C有二维，而整个视觉空间有三维。
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但是，如果经验告诉我们相反的情况，如果某一会聚感觉并非总是被相同的调节感觉所伴随，事情还会一样吗？在这种情况下，两个刺激网膜同一点并被同一会聚感觉所伴随的感觉，两个因此而属于截量C″的感觉，无论如何都能够被区分开来，因为它们被两个不同的调节感觉所伴随。因此，C″本身也是连续统，而且（至少）会有一维；于是C＇应该有两维，C应该有三维，而整个视觉空间应该有四维。
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由于我们最终把三维赋予空间是从实验定律提出来的，人们于是可以说，正是经验告诉我们空间有三维吗？但是可以说，我们在那里完成的仅仅是生理学实验；还有，要使会聚感觉和调节感觉之间不一致，只要在眼睛上戴上合适构造的眼镜就足够了，我们能说戴上眼镜就足以使空间具有四维吗？制造眼镜的人给空间多加了一维吗？显然不能；我们所能说的一切就是，经验告诉我们，赋予空间以三维是方便的。
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但是，视觉空间仅仅是空间的一部分，即使在这个空间的概念中，正如我在开始时说明的那样，也存在着某些人为的成分。真实的空间是动觉空间，这就是我在下一章将要考察的内容。
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科学的价值 第四章 空间及其三维性
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1.位移群
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让我们简要地概括一下所得到的结果。我们打算研究所谓空间有三维意味着什么，我们首先要问，什么是物理连续统，何时可以说它有n维。如果我们考虑一下不同的印象系统并把它们相互比较，我们往往辨认出，这两个印象系统是不可区分的（这通常用下述说法来表示：它们相互之间太接近了，我们的感觉太粗糙了，以至于我们无法区分它们）；此外我们确定，这两个感觉系统尽管与第三个系统不可区分，但它们二者有时却能够彼此区分。在这种情况下，我们说这些印象系统的流形形成物理连续统C。而这些系统中的每一个称为该连续统C的元素。
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这个连续统有多少维呢？首先取C的两个元素A和B，设存在着完全属于连续统C的元素的系列∑，该系列是这样的：A和B是这个系列的外项，该系列的每一项与前一项不可区分。如果这样的系列∑能够被找到，我们就说A和B相互联通；如果C的任何两个元素相互联通，我们就说C完全是连成一片的。
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现在，在连续统C中以完全任意的方式取若干元素。这些元素的集合将被称为截量。在把A和B联合起来的各种系列中，我们将区分出两类系列：一种是其元素与该截量的一个元素不可区分的系列（我们将说，它们是切断截量的系列），一种是其所有元素与该截量的所有元素不可区分的系列。如果把A和B联通起来的所有系列∑切断截量，我们将说A和B被截量隔离，截量分割C。如果我们不能在C上找到被截量隔离的两个元素，我们将说截量没有分割C。
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在拟定了这些定义后，倘若连续统C能被本身不形成连续统的截量分割，则这个连续统只有一维；在相反的情况下，它有多维。若形成一维连续统的截量足以分割C，则C将有二维维；若形成二维连续统的截量足以分割C，则C将有三维，等等。多亏这些定义，我们总是能够辨认任何物理连续统有多少维。只是尚需找到一种物理连续统，它可以说等价于这样一种类别的空间，致使这个连续统的元素对应于空间的每一个点，不可区分的元素对应于空间中的彼此十分接近的点。于是，空间将具有与连续统一样多的维数。
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能够表示的这个物理连续统的中介物是必不可少的；因为我们无法想象空间，其理由很多。空间是数学连续统，它是无限的，而我们只能想象物理连续统和有限的对象。我们称之为点的空间的不同元素是完全类似的，为了应用我们的定义，我们必须了解如何相互区分这些元素，至少在它们不太接近的情况下应该如此。最后，绝对空间是胡言乱语，我们必须把与我们身体（我们必须始终假定我们身体恢复到原先的姿势）恒定地结合在一起的坐标系作为空间的参照系，以此作为出发点。
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再者，我试图用我们的视觉形成与空间等价的物理连续统；这的确是容易的，这个实例尤其适合于讨论维数；这一讨论能够使我们在某种程度上看到，谈论“视觉空间”有三维是可以容许的。只是这种解决办法是不完善的和不自然的。我已经说明了其中的原因，必须把我们的努力转向动觉空间，而不是视觉空间。另外，我回想起，我们在位置变化和状态变化之间做出区分的根源是什么。在我们的印象所发生的变化中，我们首先区分随意的、被肌肉感觉所伴随的内部变化和具有相反特征的外部变化。我们确定，会发生这种情况：外部变化可以被重建原来的感觉的内部变化矫正。能够被内部变化矫正的外部变化叫位置变化，不能被内部变化矫正的外部变化叫状态变化。能够被外部变化矫正的内部变化叫整个身体的位移，其余的变化叫姿势变化。
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现在，设α和β是两个外部变化，α＇和β＇是两个内部变化。假定α可以被α＇或β＇矫正，α＇能够矫正α或β；经验接着告诉我们，β＇同样能够矫正β。在这种情况下，我们说α和β对应于相同的位移，也说α＇和β＇对应于相同的位移。在做出这些先决条件后，我们能够设想一个物理连续统，我们可把它称为位移连续统或位移群，我们将用下述方式定义它。这个连续统的元素必须是能够矫正外部变化的内部变化。这两个内部变化α＇和β＇在下述情况下将被看做是不可区分的：（1）如果它们本来就是如此，也就是说，它们彼此之间太接近了；（2）如果α＇能够矫正与本来和β＇不可区分的第三个内部变化一样的外部变化。在第二种情况下，可以说，它们按照约定将是不可区分的，我意味着借助一致赞同忽略可以区分它们的境况。
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现在我们的连续统被彻底定义了，因为我们知道它的元素，并且规定在什么条件下它们可以被认为是不可区分的。从而我们具有应用我们的定义和确定这个连续统有多少维所必需的一切东西。我们将公认它有六维。因此，位移连续统并不等价于空间，因为维数不同；它仅仅与空间相关。现在，我们怎样知道这个位移连续统有六维呢？我们是根据经验知道它的。
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要叙述我们能够藉以获得这一结果的实验也许是很容易的。可以看到，能够在这个连续统中做出截量，该截量分割连续统，其本身亦是连续统；这些截量本身能够被其他二阶截量分割，二阶截量还是连续统，这种做法只有在六阶截量之后才会停止，六阶截量不再是连续统了。从我们的定义来看，这意味着位移群有六维。
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我已经说过，那是容易的，但是确切地讲，却是冗长的；它不会有点肤浅吗？我们看到，这个位移群与空间相关，空间可以由它产生，但是它不等价于空间，因为它没有相同的维数；当我们要表明这个连续统的概念如何能够形成和空间概念如何可以从它导出时，总是有人质问，为什么三维空间比这个六维连续统更使我们熟悉，总是有人怀疑，用这种迂回办法，空间概念是否能在人的心智中形成。
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2.两点的等价
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点是什么？我们怎么知道空间两点是等价还是不同？或者，换句话说，当我们说：对象A在时刻α占据对象B在时刻β所占据的点时，这意味着什么呢？
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这是我们在前章第4节给我们自己提出的问题。正如我已经说明过的，它不是把对象A和B放在绝对空间中的位置进行比较的问题；这样讨论问题显然没有意义。它是把这两个对象相对于和我们的身体恒定地结合在一起的坐标系的位置作比较的问题，倘若我们的身体总是以相同的姿势移动的话。
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