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为了回答这个问题，已经通晓几何学的人会进行如下推理：在时刻α和α＇之间，存在着对象A不移动的可能性，在时刻β和β＇之间，却不存在对象B不移动的可能性；他们采取了这一点。在时刻α，对象A占据了空间某一点M。现在，在这一时刻，它接触了我的第一个手指，因为接触不是超距作用的，所以我的第一个手指同样也在点M。我后来做了动作系列S，在这个系列结束时，即在时刻α＇，我确定对象A接触了我的第二个手指。我由此得出结论，这第二个手指当时在M，也就是说，动作S具有导致第二个手指到第一个手指之处的效果。在时刻β，对象B与我的第二个手指接触：因为我没有轻微移动，这第二个手指依然在M；因此对象B到达M；按照假设，直到时刻β＇，它没有轻微移动。但是，在时刻β和β＇之间，我做了动作S＇；因为这些动作与动作S相反，所以它们就效果而言必然导致第一个手指代替第二个手指。因此，在时刻β＇，这第一个手指将在M；因为对象B同样也在M，所以这个对象B将接触我的第一个手指。对于所提出的问题，从而应该做出肯定的回答。
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我们这些迄今还不通晓几何学的人不能够这样推理；可是我们查明，这一预期通常总是被实现；我们总是能够用下面的说法说明例外：对象A在时刻α和α＇之间运动了，或对象B在时刻β和β＇之间运动了。
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但是，一定的相反结果不会经历到吗？这种相反的结果本身会是荒谬的吗？显然不会。如果经验给出了这个相反的结果，那么我们应该做些什么呢？这样所有的几何学都会变得不可能吗？世界上绝没有这回事。我们应该使自己满足于这个结论：接触能够超距地进行。
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当我说，接触不超距地进行而视力超距地进行时，这个断言只有一个意义，这个意义如下所述：为了辨认B在时刻β是否占据A在时刻α占据的点，我能够使用大量不同的标准。或者我的眼睛介入，或者我的第一个手指介入，或者我的第二个手指介入等等。好了，为了其他一切标准能够被满足，与我的一个手指相关的标准被满足就充分了，但是与我的眼睛相关的标准能够被满足却并不充分。这就是我断言的意思，我满足于肯定通常已被证实的实验事实。
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在上一章末尾，我们分析了视觉空间；我们看到，为了产生这种空间，有必要引入视网膜感觉、会聚感觉和调节感觉；如果后两种感觉并非总是一致的话，那么视觉空间会有四维，而不是三维；我们也看到，如果我们只引入视网膜感觉，我们会得到仅有二维的“单纯视觉空间”。另一方面，考虑一下触觉空间，触觉空间把我们自己限制在单一手指的感觉范围内，简言之，即限制在这个手指能够占据的位置的集合内。这种触觉空间，我们将在下节进行分析，我请求允许我暂且不去进一步考虑它，我说这种触觉空间有三维。为什么严格所谓的空间与触觉空间维数相同而比单纯视觉空间多呢？这正是因为接触不能超距作用，而视力却可以超距作用。这两个断言具有相同的意义，我们刚刚看到这意味着什么。
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为了不中断讨论，我急急忙忙地越过了一点，现在我要返回它。虽然A在时刻α和B在时刻β作用在我们视网膜上的印象在质上是不同的，可是我怎么知道它们是通过同一视网膜纤维传送的呢？我提出了一个简单的假设，同时还附加了其他显然更复杂的假设，这些附加假设在我看来大概比较真实。在这里，还有我已经稍微提了一下的假设。如果红色对象A和蓝色对象B在视网膜的同一点上形成图像，我们怎么知道A在时刻α和B在时刻β产生的印象有某些共同之处呢？我们可以排除上面所做的简单假设，并且可以假定，这两个在质上相异的印象是通过两个不同的、尽管是邻近的神经纤维传送的。还有，我有什么手段知道这些神经纤维是邻近的呢？假如眼睛不可动，恐怕我们不会有什么手段。正是眼睛的移动告诉我们，在视网膜的点A的蓝色感觉和在点B的蓝色感觉之间的关系与在点A的红色感觉和在点B的红色感觉之间的关系相同。事实上，它们向我们表明，对应于相同的肌肉感觉的相同动作，把我们从第一种感觉带到第二种感觉，或从第三种感觉带到第四种感觉。我没有强调这些想法，正如人们看到的，它们属于洛策（Lotze）所建立的局域记号问题。
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3.触觉空间
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这样一来，我们知道如何辨认两点，即A在时刻α所占据的点和B在时刻β所占据的点的等价，可是仅要凭借一个条件，也就是我在时刻α和β之间没有轻微移动。对于我们的对象而言，这还不够。因此，设我以任何方式在这两个时刻之间的时间间隔内运动，我如何知道，A在时刻α所占据的点是否等价于B在时刻β所占据的点呢？我假定，在时刻α，对象A与我的第一个手指接触，在时刻β，对象B以同样的方式接触这第一个手指；但是在同一时间，我的肌肉感觉告诉我，在该时间间隔内我的身体运动了。我在上面考虑过两个肌肉感觉系列S和S＇，我说过有时我们可以把这样两个系列S和S＇看做是彼此相反的，因为我们通常观察到，当这两个系列彼此相继发生时，我们原来的印象便重建起来。
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另外，如果我的肌肉感觉告诉我，我在两个时刻α和β之间运动，可是却是如此运动，以至于我相继感觉到我认为是相反的两个肌肉感觉系列S和S＇，那么我还将断定，仿佛我没轻微移动一样，如果我查明我的第一个手指在时刻α接触A而在时刻β接触B，那么A在时刻α所占据的点和B在时刻β所占据的点是等价的。
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正如人们将要看到的，这个解答还不完全令人满意。让我们看一看，它实际上会使我们赋予空间多少维。我希望比较A和B在时刻α和β所占据的两点，或者（这相当于同一件事，因为我假定，我的手指在时刻α接触A、在时刻β接触B）我希望比较我的手指在两个时刻α和β所占据的两个点。为了进行这种比较，我利用的惟一手段就是肌肉感觉系列∑，该系列在这两个时刻之间伴随着我身体的动作。各种可以想象得到的系列∑显然形成了维数很大的物理连续统。正如我已经做过的，当S和S＇在上面给予这个代码的意义上彼此相反时，让我们不要一致认为两个系列∑和∑+S+S＇是截然不同的；不管这种一致赞同，截然不同的系列∑还将形成物理连续统，维数将变小，但依然是很大的。
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空间的一个点对应于这些系列∑中的每一个；两点M和M＇从而对应于两个系列∑和∑＇。直到目前我们使用的手段能够使我们辨认出M和M＇在两种情况下并非截然不同：（1）如果∑与∑等价；（2）如果∑＇=∑+S+S＇，且S和S＇彼此相反。倘若在所有其他情况下我们应该把M和M＇看做是截然不同的，那么点的流形便与截然不同的系列∑的集合具有相同的维数，也就是说大于三维。
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对于已经通晓几何学的人来说，下述说明也许容易理解。在可以想象得到的肌肉感觉系列中，存在着这样一些肌肉感觉系列，它们对应于手指在那里未尝轻微移动的动作系列。我要说，如果人们不把系列∑和∑+σ——在这里系列σ对应于手指未尝轻微移动的动作——看做是截然不同的话，那么系列的集合将构成三维连续统；但是，如果人们认为两个系列∑和∑＇——除非∑＇=∑+S+S＇，且S和S＇是相反的——是截然不同的，那么系列的集合将构成大于三维的连续统。
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事实上，设在空间中有一个面A，在这个面上有一条线B，在这条线上有一点M。设C0是所有系列∑的集合。设C1是在对应的动作结束时，手指在面A上的系列∑的集合，C2或C3是在对应的动作结束时，手指在线B上或点M上的系列∑的集合。很清楚，首先C1将构成分割C0的截量，C2将构成分割C1的截量，C3将构成分割C2的截量。按照我们的定义，由此便导致，如果C3是n维连续统，C0将是n+3维物理连续统。
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因此，设∑和∑＇=∑+σ是形成C3一部分的两个系列；对于二者而言，在动作结束时，手指在M处；由此导致，在系列σ开始和终结时，手指在同一点M。因此，这个系列σ是对应于手指在那里未尝轻微移动的那些动作中的一个动作。倘使∑和∑+σ被视为截然不同的，C3的所有系列将混成一个系列；因此C3将有0维，而C0将有三维，正如我希望证明的那样。相反地，倘使我不认为∑和∑+σ混成一体（除非σ=S+S＇，且S和S＇是相反的），那么很清楚，C3将包含大量的截然不同的感觉的系列；因为在手指不轻微移动的情况下，身体可以采取许多不同的姿势。于是，C3将形成连续统，C0将大于三维，这也是我希望证明的。
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我们这些还不通晓几何学的人不能用这种方式推理；我们只能够证实。但是，接着产生了一个问题；在通晓几何学之前，我们怎么可以把手指在那里未尝轻微移动的系列σ与其他系列区分开来呢？事实上，只有在做出这种区分后，我们才能认为∑和∑+σ是等价的，而且正如我们刚才看到的，惟有在这一条件的基础上，我们才能够得到三维空间。
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我们之所以有可能区分系列σ，因为常常发生这样的情况：当我们进行对应于这些肌肉感觉系列σ的动作时，通过我们称之为第一个手指的神经传送给我们的触觉存留着，不因这些动作而变化。惟有经验告诉我们这一点，而且惟有经验才能够告诉我们这一点。
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如果我们区分了由两个相反系列的结合形成的肌肉感觉系列S+S＇，那正是因为它们保持着我们印象的总数；如果我现在区分系列σ，那正是因为它们使我们的印象保持一定。（当我说，肌肉感觉系列S“保持着”我们一个印象A时，我意指我们要弄清楚，我们是否感觉到印象A，接着是否感觉到肌肉感觉S，我们是否还感觉到在这些感觉S之后的印象A。）
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我在上面说过，往往发生系列σ不改变我们的第一个手指感觉到的触觉印象的情况；我经常这样说，但并非总是这样说。我们用日常语言表达的下述说法正是这一点：在与手指接触的对象A也不运动的条件下，如果这个手指不运动，那么触觉印象便不会改变。在通晓几何学之前，我无法做出这种说明；我能做的一切就是弄清楚，这个印象经常存留着，但并非总是存留着。
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然而，经常继续的印象足以使系列σ显著地呈现在我们面前，导致我们把系列∑和∑+σ归入同一类，因此不能认为它们是截然不同的。在这些条件下，我们看到，它们将产生三维的物理连续统。
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接着看看我的第一个手指产生的三维空间。我的每一个手指将产生与之类似的空间。依然要考虑，我们怎么被导致认为它们与视觉空间、与几何学空间等价。
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但是，在进一步论述之前有一个考虑；照前所述，只是通过肌肉感觉系列向我们揭示出把我们从某一初始位置带到这个最终位置的动作，我们知道空间的点，或者更一般地说，知道我们身体的最终位置。然而，很清楚，这个最终位置一方面将取决于这些动作，另一方面将取决于我们出发的初始位置。现在，这些动作被我们的肌肉感觉揭示给我们；可是没有什么东西告诉我们初始位置；我们没有任何办法能够把它与所有其他可能的位置区分开来。显然，这十分明确地提出了空间的本质的相对性。
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4.各种空间的等价
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因此，我们有可能把两个连续统C和C＇加以比较，例如，一个是由我的第一个手指D产生的，另一个是由我的第二个手指D＇产生的。这两个物理连续统均有三维。把我从某一初始位置带到某一最终位置[1]的肌肉感觉系列对应于连续统C的每一个元素，或者如果你乐意的话，也可以说对应于第一触觉空间的每一点。而且，如果σ是我们知道的不使手指D运动的系列，那么第一触觉空间的同一点将对应于∑和∑+σ。
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类似地，感觉系列∑＇对应于连续统C＇的每一个元素，或对应于第二触觉空间的每一点；如果σ＇是不使手指D＇运动的系列，那么同一点将对应于∑＇和∑＇+σ＇。
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使我们把标记为σ的各种系列与称之为σ＇的各种系列区别开来的方法是，前者不改变手指D感觉到的触觉印象，后者保持手指D＇感觉到的触觉印象。
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