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现在看看我们查明什么：在开始，我的手指D＇感知到感觉A＇；我做出产生肌肉感觉S的动作；我的手指D感觉到印象A；我做出产生感觉系列σ的动作；我的手指D继续感知到印象A，因为这是系列σ的独特的性质；我然后作出产生肌肉感觉系列S＇的动作，S＇在上面给予这个代码的意义上与S相反。于是我确定，我的手指D＇重新感觉到印象A＇。（当然，这要理解为适当地选择S。）
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这意味着，保持手指D＇的触觉印象的系列S+σ+S＇是我称之为σ＇的系列中的一个。相反地，如果人们采取任何系列σ＇，那么S＇+σ＇+S将是我称之为σ的系列中的一个。
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从而，若适当地选择S，则S+σ+S＇将是系列σ＇，使σ以所有可能的方式变化，我们将得到所有可能的系列σ＇。
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由于我们还不通晓几何学，我们仅使自己局限于证实那一切，但是在这里，问题在于通晓几何学的人应该怎样说明事实。在开始，我的手指D＇在点M与对象α接触，这使手指感觉到印象A＇。我做出对应于系列S的动作；我说过，这个系列应该适当地选择，我愿如此做这一选择，以便这些动作把手指D带到手指D＇原来所占据的点，也就是说带到点M；这个手指D从而将与对象α接触，这将使手指感觉到印象A。
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接着，我做出对应于系列σ的动作；在这些动作中，根据假设，手指D的位置没有改变，这个手指因而依然与对象α接触，并继续感觉到印象A。最后，我做出对应于系列S＇的动作。由于S＇与S相反，这些动作把手指D＇带到手指D原先所占据的点，即带到点M。正如可以假定的那样，若对象α不轻微移动，这个手指D＇将与这个对象接触，并将重新感觉到印象A＇……证毕。
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让我们看看结果吧。我考虑一个肌肉感觉系列∑。第一触觉空间的一个点将对应于这个系列。现在，再选取我刚才谈到的彼此相反的两个系列S和S＇。第二触觉空间的一点N将对应于系列S+∑+S＇，因为正如我们说过的，在第一空间或第二空间的点对应于任何肌肉感觉系列。
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我将考虑如此定义的两个点N和M，它们可以视为对应的。什么东西授权我这样做呢？要使这个对应是可以接受的，其必要条件是，如果在第一空间对应于两个系列∑和∑＇的两点M和M＇是等价的，第二个空间的两个对应点N和N＇同样也是如此，那么正是这两点对应于两个系列S+∑+S＇和S+∑＇+S＇。现在，我们要看看，这个定义被满足。
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第一个评论。因为S和S＇是彼此相反的，我们便有S+S＇= 0，从而S+S＇+∑=∑+S+S＇=∑，或者还有∑+S+S＇+∑＇=∑+∑＇；但是，由此不能得出我们有S+∑+S＇=∑的结论；这是因为，尽管我们用加号表示我们感觉的相继发生，可是很清楚，这个相继发生的次序并非没有差别：因此，我们不能像在通常加法中那样颠倒各项的次序；简而言之，我们的运算是结合的，而不是交换的。
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这样确定之后，为了∑和∑＇可以对应于第一空间的同一点M=M＇，其充要条件是我们有∑＇=∑+σ。于是我们将有S+∑＇+S＇=S+∑+σ+S＇=S+∑+S＇+S+σ+S＇。
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可是，我们刚刚确定，S+σ+S＇是系列σ＇中的一个。从而我们将有S+∑＇+S＇=S+∑+S＇+σ＇，这意味着系列S+∑＇+S＇和S+∑+S＇对应于第二空间的同一点N=N＇。证毕。
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因此，我们的两个空间点对点对应；它们能够相互“变换”；它们是同构的。我们如何被引导得出它们是等价的结论呢？
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考虑两个系列σ和S+σ+S＇=σ＇。我经常说，但并非总是说，系列σ保持着手指D感知到的触觉印象A；同样地，经常但并非总是发生这种情况，系列σ＇保持着手指D＇感知到的触觉印象A＇。现在我确定，十分经常地（也就是说，比我刚才所说的“经常”更为经常）发生下述情况：当系列σ保持手指D的印象A时，系列σ＇同时保持手指D＇的印象A＇；相反地，如果第一个印象改变了，则第二个印象也同样改变。这十分经常地发生着，但并非总是发生。
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我们用下述说法诠释这个实验事实：把印象A给予手指D的未知对象α是与把印象A＇给予手指D＇的未知对象α＇等价的。实际上，当第一个对象运动——这是印象A的消失告诉我们的——时，第二个对象也同样运动，由于印象A＇同样也消失。当第一个对象依然不动时，第二个对象也依然不动。倘若这两个对象等价，当第一个对象在第一个空间的M点，第二个对象在第二个空间的N点时，那么这两点也等价。这就是我们如何被导致认为这两个空间是等价的；或者更恰当地讲，这就是当我们说它们是等价的时候，我们意指的东西。
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我们刚才就两个触觉空间的等价所说的一切，使得讨论触觉空间和视觉空间等价的问题变得毫无必要，该问题能够用同样的方式去处理。
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5.空间和经验论
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情况似乎是，我正被导致得出与经验论观念一致的结论。事实上，我试图明显地提出经验的作用，并分析介入三维空间起源中的经验事实。可是，这些事实的重要性无论怎样，总是存在着一个我们不应该忘记的事情，而且我曾不止一次地注意到它。这些经验事实经常被证实，但并非总是被证实。这显然没有意谓，空间经常有三维但并非总是有三维。
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我完全知道，人们要拯救自己是很容易的，如果事实未被证实，他们会轻而易举地说明，外部对象运动了。如果经验接着出现，我们说它教导我们以空间；如果经验没有接着发生，我们赶紧责怪外部对象运动了；换句话说，如果经验没有接着发生，经验就要受到轻击。
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这些轻击是合理的；我没有拒绝承认它们；可是，它们足以告诉我们，空间的特性不是严格所谓的经验真理。如果我们通过给予其他类似的轻击，希望证实其他规律，我们也会获得成功。我们并非总是能够根据同样的理由证实这些轻击吗？人们至多会对我们说：“你们的轻击无疑是合理的，可是你们滥用它们；为什么外部对象如此经常地运动呢？”
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总而言之，经验并没有向我们证明空间有三维；它只是向我们证明，把三维赋予空间是方便的，因为这样一来，轻击的数目便被减少到最小。
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我愿附加几句话，经验促使我们仅仅与作为物理连续统的表象空间联系，它从来也没有促使我们与作为数学连续统的几何空间联系。经验最大限度似乎只能告诉我们，给予几何空间以三维是方便的，以至它可以有表象空间那么多的维数。
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经验问题可以在另一种形式下提出来。例如，在三维空间之外设想物理现象、力学现象是不可能的吗？我们从而应该有客观的实验证据，也可以说，应该有独立于我们生理学的、独立于我们表象模式的实验证据。
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但是，情况并非如此；我在这里不想全面地讨论这个问题，我将仅限于回忆赫兹（Hertz）的力学给予我们的引入注目的例子。你知道，大物理学家并不相信严格所谓的力的存在；他假定，可见的质点隶属于把它们与其他不可见的质点连接起来的某些不可见的结合物，我们归之于力的东西就是这些不可见的结合物的作用。
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可是，这只是他的思想的一部分。设由n个质点形成的系统是可见的或不可见的；这总共将给出3n个坐标；让我们把这些坐标视为3n维空间中的单一质点的坐标。这个单一质点凭借我刚刚讲过的结合物被强制保持在一个曲面（任何小于3n的维数）上；它在这个面上从一点到另一点，总是会采取最短的路径；这恐怕是概括整个力学的惟一的原理。
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关于这个假设，人们也许会做出无论什么样的设想，我们或者被它的简单性所诱惑，或者因它的人为特征而厌恶；赫兹能够想象这个简单事实，并认为它比我们习用的假设更为方便，这足以证明，我们通常的观念，尤其是空间的三维性，绝没有以一种无形的力量强加于力学。
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6.心智和空间
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